Pour intégrer les équations générales (i) et (a

a£4 GOUM DB MiCANiQim.

on commencera p.ir élîmîner -j^ (le la première, ce qui la réduit à

d?'^ — vîF — '^^ vP *'-*'•

Si Ton fait, pour abréger,

les deux équationâ à intégrer seront

^ + aÇH-;?60=:O,

-H-^Ç + gO — o.

Multiplions la seconde par une indéterminée X, et ajoutons-la à la première ^ puis posons

ç-4->e=ar, -iri-L^ = >, d'où n» + (a— e)X— e/?=o,

il en résultera

d'où

x= ccos t^ a -h \Sy

en supposant les vitesses initiales nulles.

Désignant par Xi, X, les deux racines de l'équation X, que i}0«3 supposerons ré^Uos, et tdilçs que or + ^^ 3oit po- 9itif| «ans quoi x oe resterait pas toujours très-petit > nous aurons

, , , - Ç -4- X| Ô = c cos r v^ot + X.J,

Ç -f.>30=:;c'cOS^ V^aH« >i^,

DEUXIÈME PAI^TIC. ^- 9TDK06TATIQUE . %$S

d'où l'on déduira facilement les valeurs^ de et ^ en fonction de t, et des constantes ç , c\ qui se détermineront par les valeurs initiales de Ç et 9.

162. On peut remarquer que si , à partir de C, on porte sur la droite AB deux longueurs égales à ij , ij , d'un côté ou de l'autre suivant les signes de. ces quantités, on aura deux points dont les distances au niveau du liquide seront exprimées respectivement par

Ç+ >, et Ç4- V,0; •

et, d'après les valeurs de ces deux expressions en fonction de ^, le mouvement vertical de chacun de ces deux points sera le même que celui d'un pendule simple. Cette remarque curieuse a été faite, je crois, par M. Cauchy.

163. L'équation 5X' -H (a — 6) X — ëp = o aura ses deux racines réelles et de signes contraires , lorsque G sera au-dessous de O, parce que ê et cî seront positifs. Pour connaître le signe de a -h X(î^ on posera

et l'on aura

équation dont les deux racines sont positives , de sorte que la valeur de x sera de la forme que nous avons supposée , et le déplacement restera infiniment petit.

Si G est AU^essus de O et que Ton ait bh* -— a V ]> o, ê restera positif et les deitx valeur^ de X ^ont réelles et de signes contraires; on trouve encçrç a 4- i^ ^ o, et le déplliqement reste tPujouri infiniment petit comme cela devait être, puisque la condition de stabilité de l'équilibre e$t

remplie.

Mais si , G étant au-de$su$ de O, on a bh* -^ a V <C o, 6

256 COOKS DB MBCAHIQUE.

est négatif, et Tune des valeurs de a -^li est négative. Les valeurs de 6 et Ç renferment alors des exponentielles et ne restent plus très-petites^ de sorte que les calculs précédents ne s'y appliquent plus. C'est, en effet, le cas où nous avions déjà démontré que l'équilibre est instable.

t&4. Les équations (3) , relatives au cas où le corps est symétrique par rapport à deux plans , montrent que si la valeur initiale de ^ est nulle , on a a = o, et que par conséquent ^ est constamment nul. Alors le centre de gravité reste immobile , et il n'y a qu'un mouvement de rotation autour d'un axe passant par ce point ; de plus, le volume d'eau déplacé reste constant , puisque le point C est toujours à la surface du liquide.

Les équations (4)9 relatives à un seul plan de symétrie, démontrent que, lors même que la valeur initiale de ^ serait zéro , ce qui est le cas où le volume d'eau déplacé après le dérangement serait égal à V, on n'a pas constamment Ç = o, et par conséquent le volume immergé ne restera pas égal à V.

165. Dans les premières recherches sur la stabilité de l'équilibre des corps flottants, on considérait un point particulier qu'on nommait me^acenfre, et que nous allons faire connaître , parce qu'on en fait encore usage aujourd'hui.

Lorsqu'un corps symétrique par rapport à un plan vertical est dérangé infinimenrpeu de sa position d'équilibre, il est sollicité par son poids et par la pression du liquide qui se réduit à une force verticale passant par le centre de gravité du liquide déplacé. Or, si la droite GH est rencontrée par la direction de cette force au-dessus de G , le corps tendra à reprendre sa première position , et si la rencontre a lieu au-dessous , il tendra à s'écarter de sa position

DEUXIÈME PAUTIE. HYDROSTATIQUE. 257

d'équilibre. D'où l'on concluait que réquîHbre était stable dans le premier cas, et instable dans le second. Quant à ce point de rencontre que Ton nommait métacentre^ on le déterminait en supposant que le volume de liquide déplacé était équivalent à celui qui se rapportait à la position d'équilibre, ou que du moins on pouvait négliger son accroissement infiniment petit , sans qu'il en résultât aucune erreur sur la limite du point de rencontre des deux droites.

Cette théorie est défectueuse , parce que le volume infiniment petit que Ton négligeait, bien qu'il ne déplace qu'infiniment peu le ceiilre de gravité du liquide, fait cependant varier d'une quantité finie la position du point de rencontre des deux droites , qui font entre elles un angle infiniment petit (i). Il faudrait donc suivre les différentes positions de ce point dans le mouvement du corps-, ce qui ne peut se faire que quand le problème est résolu, et que l'on n'a plus besoin de savoir si les écarts restent infiniment petits. Mais ce qu'il est bon de remarquer, c'est que lors même que l'équilibre est stable , le point de rencontre en question se trouve tantôt au-dessus et tantôt au-dessous du centre de gravité du corps , excepté dans le cas particulier où la droite GO passe par le centre de gravité de la section à fleur d'eau. Or, il est clair que, si l'on avait su cela, on aurait renoncé à une démonstration qui aurait prouvé aussi bien la stabilité que l'instabilité de l'équilibre. Néanmoins il y a cela de remarquable, que le point de rencontre que l'on déterminait dans l'hypothèse inexacte où l'on aurait pu considérer le volume immergé comme constant, donne la véritable condition de stabilité. Les effets du déplacement de ce point sur la droite GH de part et d'autre de G ne peuvent renverser le corps que quand le

(*) Journal de l'École Polytechnique , xxiv® cahier.