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258 COURS DE MËCAHIQUE.

métacentre est au-dessous de G. Mais c'est ce qu^on ne pouvait établir que par une analyse semblable à celle dont nous avoQS fait usage.

166. Application à V ellipsoïde. — Commençons par chercher la condition de stabilité de Téquilibre d'un ellipsoïde homogène flottant sur un liquide , et dérangé infiniment peu ,. mais d'une manière quelconque, de sa position d'équilibre. Soient A, B, C (fig- n) les trois demi-axes de l'ellipsoïde, D sa densité, G le centre de l'ellipsoïde , O le centre de gravité du volume immergé LMA , qui sera nécessairement au-dessous de G. Supposons que Taxe vertical A A' soit celui dont la longueur est 2A, et que l'on ait B >- G ; conservons, du reste , toutes les dénominations précédentes.

La condition de stabilité de l'équilibre est bh}^ aV, M* étant le moment d'inertie de l'aire de la section LM par rapport à la droite menée par son centre , qui donne le moment minimum. Cette droite est le plus grand des deux axes principaux de l'ellipse; c'est donc celui qui est parallèle à l'axe 2B.

Si Ton désigne ABpar or, l'équation qui en déterminera la valeur sera

(i) ^^=[ZPL — x)œ\

Elle exprime que le poids de l'ellipsoïde est égal à celui du liquide déplacé, dont le volume est

Le théorème des moments fait connaître immédiatement la valeur de a V, qui est

ttBC

ûV

TIE. BTDSOSnTIQtE. ijg

Les deinî-axcs de U section I.M ont pour valeur

-.^2Ajj — Jc' et -ij^Kx — *>;

le premier est parallèle à l'axe 2R, le secood à Fixe aC de l'ellipsoïde, et ce dernier est le plue petit.

Or, le moment d^inertîe d'une ellipse ayant pour demi*axes a, € est, par rapport à la direction de l'axe 6,

dooc le moment d'inertie minimum de l'aire LM sera

et la condition de stabilité est que cette ei^ression soit plus grande que a V ; ce qui donne , en suj^imaat les fscieurs communs ,