DEUXIÈME PARTIE. HYDRODYNAMIQUE

HYDRODYNAMIQUE.

■ 172. L'Hydrodynamique a pour objet le mouvement des fluides.

Pour se faire une idée exacte du problème considéré de la manière la plus générale , il faut supposer qu'à un instant déterminé , que l'on prendra par exemple pour origine des temps, on connaisse la position de toutes les molécules qui composent le fluide , et les vitesses dont elles sont animées ; que , de plus , on donne les forces extérieures qui agissent sur tous les points du fluide , les pressions et les autres conditions relatives à ses limites dans tous les sens. Gela posé, il s'agit de déterminer le mouvement de chaque molécule en particulier, c'est-à-dire de trouver l'expression de ses trois coordonnées en fonction du temps, et de connaître, de plus , la pression et la densité en un point quelconque et à un instant quelconque.

Les coordonnées x <, j ^ z d'une molécule déterminée sont des fonctions de la seule variable t. Mais ces fonctions changent d'une molécule à l'autre et dépendent, par conséquent, des coordonnées «, è, c du point où se trouvait la molécule que l'on considère, à l'origine du mouvement. On doit donc regarder x^j^ z comme des fonctions des quatre variables indépendantes a, t , c, f -, et si l'on peut trouver l'expression générale de ces trois fonctions, on connaîtra exactement le mouvement de telle molécule que l'on voudra, à partir de sa position initiale.

2^0 COURS DK MÉCANIQUE.

173. Si le problème était résolu, et que l'on coniiûl ces trois fonctions de a, 6, c, /, on en pourrait déduire a^ i, c en fonction de x, j^, ^ , f , et, par conséquent, toute fonction des variables indépendantes a, £, c^ t peut être considérée comme fonction des quatre variables indépendantes x^ y^ z, t* Ainsi, par exemple, les composantes

dx dy dz

de la vitesse d'un point du fluide, — ? -^9 — ? que nous représenterons respectivement par m, i^, w, étant dépendantes de a, £, c , t, pourront être regardées comme dépendantes de X, j^, -3, f 5 et c'est d'ailleurs ce que l'on coi^çoit à priori^ car, si l'on considère un point quelconque du fluide, dont 1res coordonnées x^y^ z restent constantes, les quantités u , i^, iv relatives à ce point changeront avec le temps, et sont, par conséquent, des fonctions de t. De même, «i on laisse y, z^Xt constants et qu'on fasse varier x^ c'est-à-dire si au. même instant on considère les difierents points d'une parallèle à l'axe des x\ u^ v^^w varieront encore^ elles sont donc fonction de la variable indépen^ dante x, et ainsi des autres^ d'où il résulte que u, ^, w sont des fonctions des quatre variables indépendantes x • y^ z^ t. On en dirait autant de toute fonction de a, £, c, t.

MA, Il est facile de voir que le problème que l'on se propose serait résolu si l'on pouvait déterminer complètement M, i^, w en fonction de x, j^, ^, f ; car, pour connaître le mouvement d'une molécule en particulier, il suffirait de considérer x^ y, z comme des fonctions de t seulement, et de poser

dx djr dz

dt ^ dt ^ dt

on aurait ainsi trois équations différentielles entre x, } % z, ?, après que Ton aurait remplacé m, ^', w par leurs valeurs 5 en les intégrant, on connaîtrait x ^ y>^ z en fonction