DEUXIEME PARTIE. — HYOROOTETAMIQUE. 2*^ f

(le f, et Ton déterminerait les trois constantes que cette intégration introduirait en exprimant que, pour £ = o, x, y^ z prennent les valeurs des coordonnées initiales de la molécule que l'on considère.

17S. Équations du mouvement des fluides. — Soient yidnij Ydm^ Zidm les composantes de la force appliquée à la molécule dont la masse est dm; u^ i^^ w les composantes de sa vitesse, et u', <^', w' les dérivées par rapport à / 5 des quantités respectives m , p» , w considérées comme relatives au Qiouvement d'une molécule déterminée , et , par conséquent, comme des fonctions de la seule variable t.

Nous ne pouvons représenter ces dérivées par 5-' y ;7"

parce qu'on les confondrait avec les dérivées partielles de 1/, v', fv par rapport à t. Soient enfin p la pression et p la densité, qui peuvent varier avec jc, y, ^, ï. On formera d'abord trois équations du mouvement du fluide, au moyen du principe de d'Alembert, en observant que le fluide serait en équilibre si une molécule quelconque dm était sollicitée par la force ayant pour composantes

d'où résultent les trois équations

Pour obtenir les expressions de «', t'', w', il faut observer que li, \^yW doivent être difTérentîées en regardant x^j^ z comme les fonctions de t qui se rapportent au mouvement de la molécule Jm, et que, par conséquent, les accroissements de X, y, ^, correspondants à l'accroissement dt du temps , ont pour valeurs

dx = uclt, dy =rr vdty dz = (vdt.

On aura , d'après cela ,

, du du du du

dt dx dy dz

dv dv dv du

dt dx dy dz

div dw dw dw

dt dx dy dz

et les trois équations précédentes deviennent

\ dp du du du du

p dx dt dx dy dz

, . ,1 dp „ dv dv dv dv

f dy dt dx dy dz

i dp dw dw dw dw

p dz dt dx dy dz^

Ces trois équations ne suffisent pas pour la détermination des cinq fonctions p, p, i/, f^, w. Il en faut deux de plus, à moins que p ne soit constant, et, dans ce cas, il n'en resterait qu'une à trouver. Nous allons voir comment on peut trouver ces équations d'après la condition que le fluide reste continu.

176. Concevons que l'espace occupé par le fluide soit partagé en parallélipipèdes infiniment petits clx^ dy^ dz. Après le temps dt^ ils doivent se trouver encore remplis parle fluide, excepté peut-être ceux qui se trouveraient à la surface libre, et, par conséquent, Faccroissement de la densité dans chacun d'eux sera égal à l'accroissement de la masse qui y était renfermée, divisée par le volume. Pour exprimer cette condition, il faut chercher l'excès de la masse de fluide qui est entrée dans un quelconque d'entre eux, sur la masse qui eu est sortie pendant le temps dt.

Soient X, j', z [fig- 12) les coordonnées du sommet M