DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE
de ce parallélipipède ; x -^ dx^ y-H^T? -s-*-^^ celles du sommet opposé S-, m, p', w les composantes de la vitesse du point situé en M après le temps f, et p la densité en ce point au même instant.
La direction de la vitesse variant d'une manière continue, s'il entre du fluide par une face, il en sortira par la face opposée, et si l'on calcule l'excès de la masse de la première quantité sur la seconde pour les trois couples de faces parallèles, leur somme sera l'accroissement de la masse renfermée dans le parallélipîpède.
Considérons d'abord la face MPQR et sa parallèle. Si ^ et u étaient constants dans Fétendue de chacune d'elles, la masse introduite par la première serait
pudfdzdc, la masse sortie par la iseconde serait
p ,^ >^ \î—l fix I df dz dt ,
et l'excès aurait pour expression
d(pu) , , , ,
^ dx djr dz dt,
dx
Or, on peut admettre qu'il en est ainsi 5 car, si Ton considère deux points T, V pris respectivement dans les deux faces et situés sur une parallèle à l'axe des x, la différence des valeurs de pu en ces deux points ne surpasse la différence des valeurs de pu aux points M et N, que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, puisqu'il suffirait de remplacer dans cette dernière les coordonnées de M par celles de T pour obtenir les expressions de
la première.
De même, l'excès de la quantité de masse entrée par les deux faces dxdz , dxdy sur celle qui est sortie par les faces
parallèles, est exprimé respectivement par
^-^dxdfdzdt, ^-j-^dxdydzdt.
Divisant la somme des trois excès par le volume dxdjdz, on connaîtra l'accroissement de la densité du liquide contenu dans le parallélipipède , ou de la densité au point dont les coordonnées sont x^ y^ z, Qe sera donc la diOerentîelle partielle de la densité par rapport au temps, ec l'on aura, par conséquent, l'équation
, ^ dp d,ùu d.ûv d.ùw
^ ' dt dx. dy dz
Examinons maintenant de quelle manière elle doit être interprétée dans les différents, cas que peuvent présenter les fluides.
177'. S'il s'agit d*un liquide, c'est-à-dire d'un fluide incompressible, et que sa densité soit la même en tous les points, et indépendante du temps, Téquation (a) se réduit à
du dv d(v ^ ^ dx dy dz
Dans ce cas, il n'y a que quatre fonctions inconnues p^ m, i^, IV, puisque p est donné. Les équations (i) et (3) suffisent donc pour leur détermination.
478. Si l'on considère maintenant un liquide hétérogène, la densité de chaque molécule est invariable*,' mais p n'en est pas moins une fonction Atx^y^ <z, t. Pour exprimer que cette fonction reste constante pour une même molécule, il faut chercher sa différentielle totale en exprimant que dx^ dj^ dz ont les valeurs correspondantes au mouvement de cette molécule, et l'égaler à zéro. On ob-
