DEUXIÈME

TABTIB.

— OVDBODYNAMIQUE.

tient ainsi

dt

.in-,

dx

ecqui

rëduit réqualion (2)

du dp

dZ-*-:iz

Dans ce cas , il y a cinc( fonctions à déterminer, savoir, />, p. H, c, If, et un même nombre d'équations (1), (4), (5).

179. S'il s'agit d'un fluide compressible dont la température est constante, on a entre p et p la relation

qui, jointe aux équations (1) et (a), détermine les cinq fonctions inconnues.

180. Conditions relatives à la surface. — Les équations que nous avons obtenues jusqu'ici s'appliquent k tous les points de l'intérieur du fluide; et s'il est indéfini, il ne reste à y joindre que les conditions relatives k l'état initial. Mais si le fluide est terminé*, il existe des équations particulières pour les points qui se trouvent à sa surface. On suppose ordinairement que les points qui «paient d'abord en contact avec une paroi mobile ou immobile, y restent indéfiniment, et que les points qui appartenaient primitivement à la surface libre ne cessent jamais d'en faire partie. Ces bypotbèses restreignent les déplacements; et, malgré cela, il est encore bien peu de cas où les calculs paissent s'effectuer complètement.

Soit F(x,y, z, /) = o l'équation d'une surface sur laquelle un point du fluide doit constamment se trouver. Supposons que, pour une certaine valeur de t, ses coo~ données y satisfassent , et que l croisse de dl ; ces coordoi

nées croîtront de

udty pdty wdi^

et ces accroissements devront satisfaire à Tëquation différentielle de la surface , quand on les substitue à dx^ dy^ dz j ce qui donne la condition

rfF d¥ d¥ dY

dt dx dy dz

dY Si la paroi est fixe, le terme — disparait.

Cette équation devra avoir Heu pendant toute la durée du mouvement pour les points qui se trouvaient primitivement en contact avec la paroi dont il s'agit; et il en existera de semblables pour toutes les parties de la surface qui ne sont pas libres.

181 . Les points de la surface libre sont soumis a Faction d^une pression connue , qui est ordinairement la même en tous ces points, mais qui peut varier avec le temps. Si on la désigne par P, l'équation de cette surface sera

d'où Ton conclut la condition suivante, pour les points qui ' s'y trouvent :

dp dp dp dp dV

di dx dy dz dt

Ces différentes équations relatives aux limites du fluide concourent, avec l'état initial , à la détermination des fonctions arbitraires introduites par l'intégration des équations différentielles partielles.

i82. Lorsque m, u^ w sont les dérivées partielles psTr rapport k x^y^ z d'une fonction (f àe x ^y^ z , f , on peut réduire les équations (i) à une seule, et la solution de la