KU\1£ME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

question est ramenée à la détermination de «p, puisqu'on en déduira m, p', w par des différentiations.

En ne considérant que les variables x^y^ z dans y, on aura, d'après l'hypothèse,

adx -h vdy -f- wdz ■= dtf.

Supposons, de plus, que X, Y, Z soient les dérivées partielles d'une fonction V, de sorte que l'on ait

Cela posé, les équations (i) peuvent s'écrire ainsi :

I dp d\ û?'«p df^ d^ff dtf c/'<p df d^(f

p dx dx dx dt . dx dx^ dy dx djr dz dx dz

1 dp dW d^ff dff r/'ç d(f d^(f d<f d^ff p dy dy dy dt dxdxdy dy dy"^ dz dy dz

V dp dV d^<f d<f d^(f d<f d^tf d(fd^ff p dz dz dz dt dx dx dz dy dy dz dz dz^

Si l'on multiplie respectivement ces équations par ^'5 dy^ dz^ et qu'on les ajoute, on obtient

toutes les différentielles étant prises par rapport à jc, j-, ^, en considérant t comme constant.

Les deux membres de cette équation pourront s'intégrer par rapport kx^y^z toutes les fois que p sera une fonction connue de p, ou aura une valeur constante.

183. Dans ce dernier cas , qui est celui d'un liquide homogène, on obtient

2']8 COUBS DE MECANIQUE.

il faudrait. ajouter une fonction arbitraire du temps au second membre , mais on peut la regarder comme renfermée dans la fonction f , et il est, inutile de récrire.

L'équation de continuité se réduit, dans ce cas, à

du dp dx djr

dtv

^ "^ dj^ ' dz'

Cette équation fera connaître (p en fonction de x^j^ z-y et quand les fonctions arbitraires auront été déterminées , on connaîtra u^ v*, iv par la diSerentiation de la fonction'(p.

184. Dans le cas d^n Auide aériforme dont la tem-« pérature est constante, on a p = hp^ et le premier mem-

bre de l'équation (6) devient fc—' On obtient donc, en

intégrant ,

— -^^-i[(â)-fêr-(i')']-

d'où Ton peut tirer p en fonction de ç.

L'équation (2) peut se imettre sous la forme

dt dx dy dz '

et, en y remettant la valeur de p tirée de la précédente, on aura une équation qui déterminera cf et, par suite, i/, ^, w. Dans le cas où les mouvements des points du fluide seraient assez rapides pour que la température s'élevât et s'abaissât successivement en chaque point, la force élastique ne serait plus simplement proportionnelle à p, elle dépendrait de raecroissement de température, qui peut

DEUXlàME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 2^q

«tre regardé comme proportionnel à l'accroissement delà densité *, p dépendrait donc encore de p, et réciproquement. Le premier membre de Féquation (6) pourrait encore être intégré, et Ton agirait comme dans le cas précédent.

185. Si les fonctions u, i^, tv sont les dérivées partielles d'une fonction de x, y^ z pour une valeur quelconque de f, il faut qu'elles le soient d'abord pouç t = o; ce que l'on reconnaîtra facilement, puisque leurs valeurs initiales sont données en fonction de j:, jr^ z. Or, Lagrange a fait voir que, quand ces conditions sont remplies à une certaine époque , elles le sont à un instant quelconque du mouvement; d'où il résulte que, si l'on reconnaît qu'elles le sont dans l'état initial, elles le seront indéfiniment, et les' calculs précédents seront applicables.

Nous allons démontrer cette importante proposition.

Pour cela , nous partagerons le temps en intervalles infiniment petits, et nous calculerons de combien. augmente l'expression udx -\- v» dy -^ \v dz dans un de ces intervalles, en déterminant les accroissements que prennent u, i^, w. dans le même temps, d'après les équations générales du mouvement des fluides. Or, il est clair que si udx -f- \^dj'\- wdz est à chaque* instant la difierentielle d'une fonction de x^ y^ z^ \\ est nécessaire que la quantité dont elle augmente soit toujours elle-même une différentielle exacte ; et réciproquement , si à une certaine époque cette expression est une différentielle exacte et que tous ses accroissements infiniment petits successifs soient eux-mêmes des différentielles exactes , il en sera de même de leur somme et , par conséquent, de l'expression udx -\- y^dy -^wdz à une époque quelconque.

Soient donc Mi, t^i , ivj les valeurs de u, i^, w à une certaine époque pour' laquelle t = t^^ et admettons que l'on ait

tiy dx -f- (', dy -h w, dz:=. d(fy

28o cou AS DE MÉCAIflQVE.

f] étant une fonction des trois variables indépendantes X, y y z. En considérant u , ^, \v comme des fonctions de ar, y^ z, ^, les valeurs qu'elles auront pour f = fj-f-6 pourront être développées par rapport aux puissances de s, et si Ton suppose cet accroissement infiniment petit, oq devra se borner aux deux premiers termes , et Ton aura

u\ f^', w' étant des fonctions de a: , ^, 2 , qui seront les dé-' rivées partielles de m, v^, w par rapport à t et relatives à 1 3= f 1 .

On déduit de là

udx-^i>dy-\-ivdz=:iUydx'{-i>y^ dy-+- w, dz-{^ s [u' dx-^-v' dy-\-V(/ dz).

Donc, si u^dx -\-\^' dy -{-• w^dz est une différentielle exacte, il en sera de même de udx -^x^dy -\-wdz à l'époque pour laquelle *=i^i-|-e. Or, les équations (i), considérées à Vépoque où « = ?i, deviennent

^ dp ^ dffx d^^i dt^t d^fi dfx d^ (fi

p dx dx dx^ dy dxdy dz dxdz

p c{)^ dx dxdy dy dy^ . dz dydz

i dp , flfç, rf'<p, flf^, t/'ç, rfy, c?'cp,

p dz dx dxdz dy dy dz dz dz^

Multiplions ces équations respectivement par dx^ djj dz^ et ajoutons-les. Le premier membre -^ sera une différentielle exacte, ^oit dans le cas des liquides homogènes , parce que p est alors constant \ soit dans le cas des gaz, parce que p est une fonction de p^ la température étant supposée inva-

riable. On peut donc remplacer — par r/P, P étant une cer-

USUXIKUE PARTIE. — H VIIBO DYNAMIQUE. 201

taine fonction de a:, ^, z ; et, en supposant d'ailleurs -que les forces extérieures soient telles, que X.dx + Y(lx-i-^dz soit la diflërentielle d'une certaine fonction V de x, ^, z, on obtiendra

dP= d\ — {u'dx-i-«'dy

-Hm-m-

d'où

l'on tir

a'dx -X-v'dy -h iv" d

-^-mhi^

Ainsi u'dx -t- ^''ffy ■+- w'dz est la diOërentielle d'une certaine fonction des trois variables indépendantes x, y., z. Donc , si udx + vdy + wdz en est une , à une certaine époque, elle le sera encore après que le mouvement du fluide se sera opéré en vertu de toutes les actions et toutes les circonstances, pendant un temps infiniment petit. Partant de l'état du fluide à cette nouvelle époque, comme de la précédente, on prouvera de même que udx-^- wdy + wdz sera encore une dîiTérentielle exacte après un nouvel intervalle de temps infiniment petit, et ainsi de suite indéfiniment.

11 suit de là que,si cette condition est remplie dans l'état initial , ce que l'on pourra toujours vérifier immédiatement, on peut être assuré qu'elle le sera à toute époque du mouvement. Si elle ne l'était pas dans l'état initial, il est clair qu'elle ne pourrait l'être à toute époque.

II est bon de remarquer que !a condition dont il s'agit sera remplie toutes les fois que les vitesses seront nulles en toiis les points dans Tétat initial ^ car alors on a

udx: ■+■ vdy + wdz = o,

ce qui est une dilTérentielIe exacte.

186. Dans le mouvement très-simple d'un liquide qui tourne uniformément autour d'un axe fixe, sans que ses points changent de position relative, ud:v -^ ^dy + wdz n'est pas une différentielle exacte-, car, en désignant par w la vitesse angulaire constante, et prenant Taxe de rotation pour axe des z , on aura

et , par suite ,

udx •+- udjr -h wdz = u [xdjr — ydx) ,

expression qui n'est pas une différentielle exacte. Le cas dont il s'agit ne peut donc être traité par le procédé particulier que nous avons exposé, et il faut recourir aux équations générales.

On a , dans ce cas ,

du dv dw

= 0, — = 0, — J--=0, WZ=Oy

et les équations (i) deviennent

^ dx ^ p dx ^ p dz

d'où l'on déduit

-^ = Xfite-h Yrfy- -+- Zdz 'i-(d^{xdx -hjdf),

équation qui ne diffère pas de celle que nous avons trouvée dans l'Hydrostatique, n° 141.

Mouvement dun liquide dam une hypothèse paru-

culière.

187. Lorsqu'un liquide homogène, renfermé dans un v^se, s'écoule par un orifice pratiqué dans la base hori-

* DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 283

zontale, et très-petit par rapport aux sections horizontales du vase , rexpërience montre que les molécules situées dans une même tranche horizontale, à un certain instant, y restent constamment , tant qu'elles ne sont pas trè&-voisines de l'orifice. On peut négliger les vitesses horizontales, lorsque les sections varient peu dans toute la hauteur du vase, et ont des dimensions très-petites par rapport à cette hauteur ; il n'y a plus alors que deux inconnues, la vitesse verticale et la pression. Ces suppositions , connues sous le nom di hypothèse du parallélisme des tranehes^ sont celles que nous admettons dans la question que nous allons traiter. Prenons Taxe des x dans la direction de la pesanteur, nous aurons

Y = 0, Z = 0, Xzzrg',

et les équations (i) se réduisent, les deux dernières à

dy az = Oy

ijp qui indique que la pression est la même pour tous les points d'une même tranche horizontale, et la première à

, ^ dp I du du\

L'équation'de continuité (3) ne saurait être employée dans le cas actuel , parce qu'elle renferme les dérivées de w, 1^, w^ et quoique ^ et w soient très-petits par rapport à M, on ne peut dire que leurs dérivées puissent être négligées par rapport à celle de u. Mais on exprimera bien simplement la continuité, en égalant la quantité de liquide qui passe par une tranche quelconque à celle qui sort par l'orifice pendant un même temps infiniment petit. En elFet, désignons par w l'aire de la section faite dans le vase, à une distance x de l'origine j par fl Taire de l'orifice , et par U la

284 GpU&S DE MÉCANIQUE.

vitesse avec laquelle le liquide y passe*, les quantités de liquide qui passent par les sections ci> et fl pendant le même intervalle dt sont respectivement oiudt et Q,l]dt'^ d*où résulte la condition

W M = il U ,

les valeurs de 11 et U se rapportant à la même valeur de f , U est une fonction de t seulement, o) est une fonction de x donnée par la forme du vase, et n est une fonction de x et de t. Si Ton y fait varier t seulement , on a les valeurs successives de la vitesse de différentes couches, au moment où elles viennent de passer par une même section. Si x seul varie dans u, on a les vitesses de différentes' couches au même instant, et si Ton y fait varier à la fois x eVt sans établir de dépendance entre eux , on a la vitesse de la tranche qui passe à cette autre époque par une autre section. Enfin, si Ton veut connaître la vitesse qu'aura, après le temps dt^ la tranche qui, pour une valeur donnée de t^t dex, a une vitesse u^'il faudra faire varier t de dt^ et x de dx , en supposant dx = u dt.

Au moyen de l'équation (b) on peut éliminer u de l'équation (a) et y introduire U, qui offre de Favantage, en ce qu'elle n'est fonction que d'une seule variable t.

On obtient ainsi

;^ — P \^^ "" "^^^ 'dT "wT" djc

Multipliant les deux membres de cette équation par dx , et les intégrant par rapport à a?, à partir de la surface supérieure, on obtient