DEUXIEME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

/dx — peut être supposée effectuée dans chaque

cas particulier, puisque w est une fonction donnée de x ; C est une quantité arbitraire indépendante de x, et qui peut dépendre àet.

Cela posé, il y a à. considérer deux cas très-différents : celui où le niveau du liquide serait maintenu à la même hauteur, et celui où il s'abaisserait par l'écoulement du liquide qui ne serait pas renouvelé ; nous allons les examiner successivement.

188. Soient P la pression constante exercée sur la surface supérieure du liquide, P' la pression exercée sur le liquide qui sort du vase 5 on aura sensiblement P' = P lorsque tout l'appareil sera compris dans un même milieu gazeux. Soient h la distance du niveau à l'origine des x, et / sa distance à l'orifice.

Déterminons la constante de 1 équation précédente de manière que l'on ait /? = P pour x = h, nous trouverons , en prenant l'intégrale à partir de h ,

C = P — ^pA-f-p

O désignant la valeur de o) au niveau du liquide. Il en résultera

si nous faisons il en résultera

SI nous posons

-.m, P-V' = gpS,

nous obtiendrons posant

I— ^ = «' et 2g{l + S)=:i\

a sera une quantité très-peu différente de l'unité, et J'équation précédente donne, en la résolvant par rapport à dt,

cit= ;

intégrant les deux membres , il vient

mû - I /A^ 4- aU\

C étant une constante arbitraire que l'on déterminera d*après Ja valeur initiale de U. En supposant les vitesses nulles lorsque ^=o, onaC = i,èt l'équation résolue par rapport à U devient

koct

U étant déterminé, on connaîtra u par l'équation u = ,

èlp par l'équation (c).

La valeur de U montre qu'après un certain temps , d'autant plus court que il sera plus petit , les exponentielles sont sensiblement nulles , et que par conséquent la valeur

de U converge vers la limite . /—^-^ -^ et m et p vers

des limites correspondantes.