DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

Si Ton néglige le carré de -» la limite delà vitesseà Tori-

fice sera ^2g" (/-}- cî).

Et enfin, si (î = Oj c'est-à-dire si la pression extérieure est la même à Torifice et au niveau du liquide , la vitesse à

l'orifice devient s/^gL Elle est donc la même que celle çu! acquerrait un corps pesant^ en tombant dans le vide d'une hauteur égale à celle du liquide dans le vase,

La vitesse U étant devenue constante, on a --p =o, et

dt

Féquation (c) se réduit à

Or, dans l'état d'équilibre, la pression serait égale à

P + pê'C^-^)-

Elle est donc moindre dans l'état de mouvement pour les sections telles, que l'on ait w <^ O, c'est-à-dire pour celles qui ont des aires moindres que celle de la surface libre du liquide; elle est, au contraire, plus grande que dans l'état d'équilibre pour celles dont les aires sont plus grandes que O .

Si l'on veut connaître le volume de liquide qui est sorti du vase au bout du temps f, il suffira d'intégrer Q,\idt entre o et f . Si l'on désigne ce volume par V, on trouve facilement

koct kcct

2 m XI. a mû

V = lo£j •

ÏT^ "~ ô-

Au bout d'un certain temps , on pourra négliger la seconde exponentielle, et l'on aura sensiblement, eïi remettant

pour k sa valeur ^2g (/4-cî),

y— v/2g(/H-^) 2mlog2

Le premier terme est le volume qui serait sorti si la vitesse avait été, dès Torigine ^ égale à sa limite

189. Passons maintenant au cas où le liquide n'étant pas renouvelé, le niveau s^abaisse, et h est une fonction inconnue de t.

Les équations (a), (è), (c), (^) ont toujours lieu; mais metO sont maintenant des fonctions connues de /«, et / dépend de h par l'équation

a désignant la distance constante de l'orifice à l'origine des X, Il faudra à ces équations en ajouter une qui exprime que la quantité de liquide écoulé pendant un intervalle quelconque dt est égale au volume compris entre les deux niveaux correspondants au commencement et à la fin de cet intervalle. Cette équation est

dh au

^ ^ de O

L'équation (d) devient, en remplaçant / par a — A,

Il reste donc à intégrer le système des deux équations simultanées (e) et (f).

DCUXIILNe PABTIE. — UTDBODTtlAMlQIII.

Si l'on élimine entre elles dt, on obtient

OH, en posant U*= a^z,

-îik-è)'

àjnation linéaire du premier ordre par rapport à z, et que l'on pourra toujours intégrer dans chaque cas, puisque O et m seront des fonctions connues de h.

Lorsque z sera connu en fonction de A , on conuahra U, et par suites d'après l'équation (e); et réciproquement k et U seront connus en fonction de t. La valeur de u sera donnée par l'équation (&), et celle de p par l'équation (c). La quantité de liquide écotilé se déterminera en calculant le volume du vase , compris entre le niveau initial et le niveau variable, et la diirée de l'écoulement total s'obtiendra en faisant h = a dans la valeur de t.

190. Si l'on suppose CL extrêmement petit par rapport aux sections horizontales du vase, l'équation {d) se simplifie beaucoup. En effet, on peut négliger - et mil, unt dans l'hypothèse d'un niveau variable que d'un niveau

qui a lieu au commencement du mouvement. On obtient ainsi

ce qui donne pour U la vitesse limite que nous avions trouvée pour t infini, dans le premier cas.

Dans la même hypothèse d'un orifice très-petit, les résultats sont sensiblement les mêmes , quelle que soit direction de son plan .

Mais, dans tous les cas, la vitesse donnée par F expérience, et que Ton calcule d'après l'aire de l'orifice et la quantité d'eau écoulée, est moindre que celle que donne cette théorie dans le rapport de 0,62 à l'unité. Ce rapport étant sensiblement constant, les vitesses réelles sont toujours entre elles comme les racines carrées des hauteurs de pression.

Du mouvement permanent dun liquide.

191 • Lorsque l'on entretient le niveau d'un liquide à une hauteur constante, on obtient, au bout d'un certain temps , un état permanent dans lequel toutes les circonstances restent les mêmes au même point, et ne varient que d'un point à un autre. Ainsi , en un point quelconque, la vitesse du liquide sera constante en grandeur et en direction , et par conséquent deux molécules qui à des époques différentes auront occupé une même position , parcourront la même trajectoire et d'une manière identique.

En prenant l'axe des x dans le sens de la pesanteur, les équations fournies par le principe de d'Alembert seront

dp dp , fip ,

u\ ^\ iv' étant les dérivées , par rapport au temps , des composantes de Id vitesse d'une molécule en un point quelconque. Désignons par dx^ dy, dz les accroissements qu'ont pris, après le temps dt^ les coordonnées de la molécule qui était située en ce point; multiplions respectivement les équations précédentes par dx^ dj^ dz^ et ajoutons-les, nous obtiendrons

dp-=i g^dx — p(tt' dx -^ \>' dy + w dz),

ou, en désignant par V la vitesse de cette molécule en un