DEUXIÈME PARTIE. HYDRODYTTAMIQUE. 2g I

point quelconque de sa trajectoire ,

intégrant entre deux points quelconques de cette trajectoire, correspondants aux abscisses Xo» ^? il vient

po , Vo étant les valeurs de z?, V, au premier de ces deux points. Cette équation va nous conduire à un résultat remarquable, déjà obtenu dans la discussion de la question précédente où Ton admettait des hypothèses plus particulières que celles que nous admettons ici. En effet, supposons que là surface libre du liquide soit rigoureusement plane et soumise en tous ses points à une pression égale et constante P, et comptons les x à partir de ce plan. Si dans l'équation (a) nous faisons

le premier des deux points que l'on considérait sur la trajectoire sera pris à la surface supérieure du liquide 5 on aura alors

/,-F=g'px-|(V'-V:).

Or, si le vase est percé d'un très-petit orifice à la partie inférieure, à une distance h au-dessous du niveau supérieur, on pourra admettre que dans toute l'étendue de cet orifice la vitesse de tous les points est la même 5 de sorte que pour x = hil n'y ait qu'une seule valeur pour V. Si , de plus , on regarde la pression extérieure comme moindre qu'à la partie supérieure d'une quantité g"pcî, l'équation précédente devient, en y faisant x = A,

gpS = gph^^{y^-\l),

2a2 COUBS DE MÉGARIQUE.

OU

Soit k le rapport de Taire de Torifice à l'aire de la section du vase par le plan du niveau supérieur^ on aura

V, = *V, et, par suite, V»(i — *')= 2g(A 4-*), d'oà

si Al est très-petit, k* pourra être négligé , et l'on aura simplement

et si la pression est sensiblement la même à la partie supérieure du liquide et i roriûce, on pourra négliger d^ei Von aura

On retombe ainsi sur les résultats obtenus précédemment.

Ecoulement dun fluide élastique,

192. Nous admettrons encore Thypothèse du parallélisme des tranches , et la question sera à peu près semblable à la précédente; seulement il sera permis de faire abstraction de la pesanteur, qui n'influe pas sensiblement sur les pressions.

L'équation (a) se trouvera par là réduite à

dp du du

dx dt dx

Pour obtenir l'équation de continuité , on considérera deux sections horizontales correspondantes k x et X'\- d<c^ et l'on cherchera la masse de fluide qui s*y introduit pendant le temps dt par la face supérieure ^ et celle qui en sort dans

DEUXliMB PARTIE. HTDRODTVAMIQUE. 298

le même temps par la face inférieure 5 l'excès de la première quantité sur la seconde , divisé par le volume (ùdz , donnera raccroissement partiel de la densité par rapport au temps On trouvera ainsi

dû d,pùiu

at dx

Enfin, en supposant la température constante, on aiu*a

k étant une constante donnée.

Ces trois équations déterminent p^ |0 et u en fonction de t et X.

Si l'on élimine p , on aura

K dp du du dp ' d.ptdU

p dx dt . "dx dt dx

Ces équations aux différentielles partielles ne sont pas intégrables sous forme finie. Mais ce qu'il est surtout im« portant de connaître, c'est la vitesse de l'écoulement, lorsque la pression et la vitesse sont devenues constantes en. chaque point; ce qu) arrive assez promptement^ en supposant que le vase communique avec un réservoir qui renouvelle le gaz et détermine à la partie supérieure une pression constante.

On a alors — = o , ~- = o , et les équations précédentes

deviennent

kdp du d,pviu

Les intégrales de ces deux équations sont

ptduzzze^ ^log/7H = c',

c et c' désignant des constantes arbitraires.

2Q^ CODAS DE MÉCMriQITE.

Soient P, U , O la pression , la vitesse et Taire de la seclion, relatives à la partie supérieure du vase 5 P', U', O leurs valeurs k rorifice , on aura

PUO = c, 2 iHogP -^ U' = 2c', FU'O' = c, 2 it logP' H- U'>= 2c'.

Ces quatre équations détermineront les consUntes c, c', ainsi que les vitesses du fluide à rorifice et au sommet. En éliminant c et c', on obtient

et éliminant U', on trouve

L'orifice O' étant plus petit que O, et la pression P' étant aussi moindre que P, sans quoi Fécoulement n'aurait pas lieu, les deux termes de la fraction sous le radical sont positifs , et U est nécessairement réel . La valeur de U' se déduit de celle de U , et Ton trouve

Les valeurs de c, c' s'en déduisent facilement, et par conséquent les valeurs de p et li seront déterminées en fonction de ot) et , par suite , de x.

Si l'on suppose -rr très -petit, on aura U très -petit, et

U' = 1/2^ logp7. Telle est la vitesse d'écoulement d'un