CHAPITRE I. — MOUVEMENT SIMPLE D*UN POINT

du mouvement uniforme qu'on peut toujours considérer, pendant un temps infiniment petit, comme identique au mouvement étudié.

Ainsi se trouve généralisée notre définition de la vitesse dans le mouvement uniforme. Analyliquement, la vitesse est la dérivée de Tespace par rapport au temps; géométriquement, c'est le coefficient angulaire de la tangente à la courbe des espaces : on la construit en prenant parallèlement à Taxe des temps une longueur mix égale à une seconde, puis menant la perpendiculaire /Jtv, limitée à la tangente au point m.

C'est de cette manière qu'on détermine à chaque instant la vitesse d'un mobile dont le mouvement a été observé directement et réduit en Tables. Il faut alors passer par l'intermédiaire de la courbe des espaces et opérer comme précédemment.

Quelquefois on se dispense de construire et la Table et la courbe, en obligeant le mobile à tracer lui-même cette dernière automatiquement.

Nous reviendrons sur les divers procédés fort ingénieux au moyen desquels on oblige un mobile qui, par sa grande vitesse, semble se dérober à nos observations, à écrire luimême les lois de son mouvement dans le langage dont je viens de vous donner la clef. Je me contenterai pour le moment de citer, comme exemple de cette méthode expérimentale, la détermination des lois de la chute des graves au moyen de l'appareil que le général Morin a fait construire, d'après les indications du général Poncelet.

Le corps qui tombe est armé d'un crayon et marque sa trace sur une feuille de papier qui se déplace horizontalement, par l'effet d'un mouvement d'horlogerie, de manière à présenter à chaque instant, en regard de la verticale de chute, des verticales dont les distances sont proportionnelles au temps. Habituellement, pour plus de commodité, la feuille de papier est enroulée sur un cylindre; en la développant sur un plan, on obtient la courbe des espaces.

Courbe des vitesses. — Il résulte de ce qui précède que, dans le mouvement varié, la vitesse est une fonction du temps ^, fonction dont on sait trouver la valeur à chaque instant quand on connaît la loi du mouvemant. Il est naturel de représenter

aussi cette fonction v par une courbe, et ceci nous procurera des avantages du même ordre que ceux qui résultent de la considération de la courbe des espaces.

Pour construire la courbe des vitesses, connaissant la courbe des espaces mm^m^ {fig* 7)» nous déterminerons, comme nous l'avons indiqué, la vitesse fxv correspondant au point m de la courbe mm^ ou au point M de la trajectoire; nous porterons ensuite la longueur ]ulv sur l'ordonnée du point/?, en faisant bien attention au signe, et nous aurons ainsi autant de points que nous le voudrons de notre courbe des vitesses.

Réciproquement, connaissant cette courbe des vitesses, on peut en déduire la courbe des espaces : soit analytiquement, en intégrant l'équation

( 3 ) ds^=^v dt^

soit graphiquement, par une quadrature.

Mais, pour que le problème soit déterminé, il faut qu'outre la courbe des vitesses on donne un premier point de la courbe des espaces cherchée, afin qu'on puisse trouver la valeur de la constante arbitraire introduite par l'intégration de l'équation (3), équation dont on peut mettre l'intégrale sous la forme

s ^=iSn-\- I V dt»

Soit /no ce premier point de la courbe {fig. 8) : pendant le temps dt, l'accroissement ds de l'ordonnée est égal à v dt^ c'est-à-dire au petit rectangle n^pu dont la base est égale à dt et la hauteur à la vitesse v. Ayant pris q^ m, égal à ce rectangle, nous prendrons de même q^m^^=. n^p^\ enfin un accroissement fini quelconque qm sera représenté par l'aire correspondante riQnppQ, qui est la limite de la somme de ces rectangles (*).

Quand on ne saura pas calculer exactement l'intégrale définie / V dt, ce qui arrivera, par exemple, toutes les fois que

(* ) Les temps, c'est-à-dire Tune des dimensions des aires dont nous parlons, devant être considérés comme des nombres abstraits, on voit qu'en définitive chacune de ces aires représente un nombre de mètres, c'est-à-dire une longueur.

GHAPITBE I. — MOCTEMEMT SIMPLE D UN POINT. 29

la courbe des vitesses sera donnée par un tracé graphique» on calculera les espaces parcourus en appliquant à Taire n^p les formules connues de quadrature approximative.

On a construit des machines qui tracent elles-mêmes la courbe des vitesses.

Il existe aussi des appareils qui servent à quarrer mécaniquement une courbe quelconque supposée tracée, ce sont les planimètres ; enfin, dans d'autres dispositions, la courbe se quarre en même temps qu'elle se construit ou qu'elle est censée se construire automatiquement. Nous retrouverons ces appareils dans une autre Partie du Cours.

On prend quelquefois pour ordonnées des fonctions de l'espace ou de la vitesse, soit qu'on y soit forcé par la nature des instruments de mesure et de tracé, soit qu'on ait uniquement en vue de simplifier les opérations graphiques à exécuter sur ces courbes. Nous nous bornons à faire ici mention des courbes dont les ordonnées sont proportionnelles à la variable qu'il s'agit de représenter.

Mouvement uniformément varié, — Le mouvement varié le plus simple est celui dans lequel les vitesses acquises dans des temps égaux sont égales, quelque petits que soient ces temps : c'est le mouvement uniformément varié.

Soient Vq la vitesse à l'instant initial, v la vitesse au bout du temps t; la vitesse acquise est v — Vq, et l'on a par définition

V — Vf,

=7' y étant une constante. On tire de là

expression de la loi des vitesses dans le mouvement uniformément varié. .

La courbe des vitesses est une ligne droite, dont Vq est l'ordonnée à l'origine et y le coefficient angulaire {fig- 9).

De r accélération, — Cette quantité y, qui joue par rapport à la vitesse le même rôle que celle-ci par rapport aux espaces, se nomme V accélération. Quand on introduit ainsi dans la science une expression tirée du langage vulgaire, il faut avoir soin de préciser le sens qu'on y attache. Il est possible que

3o PREMIÈRE SECTION. — aNÉMATIQUE PURE.

notre accélération soit un retard, v étant plus petit que Çq-, alors j est négatif. D'autres fois, au contraire, le retard est indiqué par une accélération positive, lorsque la vitesse ^ est négative. Inutile d'insister sur ces particularités, qui n'offrent aucune difficulté.

L'accélération constante/ est ce qui distingue l'un de l'autre les différents mouvements uniformément variés ; c'est la vitesse acquise pendant l'unité de temps. On la construit en prenant nv égale à une seconde et menant la perpendiculaire vn'.

Lois de la chute des grasses. — L'expérience prouve que le mouvement d'un corps qui tombe librement dans le vide est uniformément accéléré. L'accélération .de ce mouvement est la même pour tous les corps; elle varie avec la position géographique du lieu et en même temps avec l'altitude; enfin, à la latitude de Paris et au niveau de la mer, elle est représentée par le nombre 9,8088, qu'on remplace habituellement par la lettre g.

D'après ce que nous avons dit à propos de la vitesse, le temps étant un nombre abstrait, l'accélération est un certain nombre de mètres, nombre qui varie quand on change l'unité de temps.

Par exemple, si l'on prenait pour unité de temps la minute, la valeur de g serait 36oo fois plus grande. En effet, d'une part, la vitesse acquise au bout d'une minute est 60 fois la vitesse acquise au bout d'une seconde, puisque les vitesses acquises croissent proportionnellement au temps ; d'autre part, le nombre de mètres qui exprime une vitesse donnée est 60 fois plus considérable en prenant pour unité la minute, puisque la vitesse est l'espace parcouru d'un mouvement uniforme pendant l'unité de temps, et que cette unité est devenue 60 fois plus grande. Donc, en définitive, le nombre qui mesure l'accélération g est devenu 36oo fois plus considérable.

Equations du m^ouvement uniformément varié, — Pour avoir la loi des espaces, il suffit d'égaler s — s^k l'aire du trapèze wo/> {fig> 10), dont la hauteur est égale à ^ et dont les bases sont respectivement Vq et v ou v^-^jt; on a ainsi

s—SQ—t X { ({'0+ ^o+y^)-