CHAPITRE II. — VIS SANS FIN. 2I

Vis sans fin.

Dans le cas où les arbres qui ne se rencontrent pas sont rectangulaires, on peut employer une solution depuis longtemps connue, qui paraît même avoir été décrite par Pappus (*) : c'est la vis sans fin. '

Vis et écrous. — Aucun organe ne se rencontre aussi fréquemment dans les machines que les vis de toute nature, aucun ne se prête à des applications plus variées. Toutes ces applications reposent sur ce que le mouvement de la vis, par rapport à son écrou considéré comme fixe, se compose d'une translation dans la direction de Taxe et d'une rotation autour de cet axe : ces deux mouvements étant réglés de telle façon que pour un tour entier la vis avance d'un pas. Par suite, le mouvement de Tun des deux corps étant donné, l'autre se trouve déterminé.

Par exemple, quand l'écrou est fixe et qu'on oblige la vis à tourner sur son axe, celle-ci s'enfonce en même temps d'une fraction de pas égale à la fraction de tour qu'on lui fait faire : tel est le principe des vis de pression, de certaines vis micrométriques, de celles qui servent à assembler deux objets. Inversement, quand la vis est maintenue fixe, l'écrou possède à la fois un mouvement de translation et un mouvement de rotation, dont les vitesses sont dans le rapport indiqué.

Le mécanisme employé pour donner ou retirer l'.eau à certaines roues hydrauliques se compose d'une vanne, mobile dans une feuillure verticale, et fixée à une grosse vis en bois dont l'écrou repose sur un appui fixe : la vis, qui fait corps avec la vanne, peut seulement, comme celle-ci, monter ou descendre parallèlement à elle-même.

Quand on veut lever la vanne, on tourne l'écrou au moyen d'une barre analogue à celle d'un cabestan, le poids du système maintient l'écrou appuyé sur son support, et lui permet seulement de prendre un mouvement de rotation sur son axe : la translation est alors le partage de la vis, qui s'élève ou s'abaisse d'un pas pour chaque tour de barre.

(«) Voir Pappus, 1. VIII, prop. 24.

2l8 DEUXIÈME SECTION. — THÉORIE DES MÉCANISMES*

La combinaison opposée se rencontre aussi très fréquemment, par exemple dans les vis de rappel, La vis tourne dans des collets fixes, et Técrou, convenablement guidé, prend un mouvement de translation dans le sens de son axe (^).

Il n'est en aucune façon nécessaire que l'écrou affecte la forme ordinaire d'un anneau enveloppant la vis de toutes parts. Réduisons cet écrou à un simple onglet, compris entre deux plans conduits par Taxe et faisant entre eux un angle aussi petit qu'on le voudra; nous aurons une sorte de crémaillère, ou peigne, à laquelle une vis de deux ou trois spires, dont les collets sont fixes, communiquera un mouvement de translation. Cette disposition est peu usitée, mais elle nous conduit tout naturellement à la vis sans fin, qui Test beaucoup.

Vis sans ^n. — Concevons qu'on enroule le peigne dont nous venons de parler sur une jante cylindrique MN {PL uYVITI, Jig. 175), tournant autour du centre C. Nous n'aurons rien changé à l'élément d'écrou sur lequel s'exerce l'action de la vis, et cette action aura toujours pour effet de communiquer au point qui touche le filet une vitesse parallèle à l'axe de la vis.

Seulement, le point animé de cette vitesse étant invariablement lié à l'axe C, il résultera de là une rotation continue de la roue MN autour de l'axe C, perpendiculaire à l'axe de la vis : tel est le principe de la vis sans fin.

Pour étudier d'un peu plus près ce mécanisme, réduisons la roue à une lame sans épaisseur, et considérons la série des sections axiales de la vis : sections qui, par l'effet de la rotation, arrivent l'une après l'autre dans le plan de la roue. Ces sections sont toutes superposables : elles se présentent à la roue comme les positions successives d'un profil animé d'un mouvement de translation parallèle à l'axe de la vis; c'està-dire que la vis sans fin joue précisément, par rapport à la roue, le rôle d'une crémaillère indéfinie. Si donc la vis est à

'(') Enfin, nous verrons plus loin que dans les mouvements qu'on appelle différentiels, on s'arrange de telle sorte que la vis, indépendamment de la rotation, possède une certaine portion de la translation : l'écrou est alors animé de la fraction complémentaire (positive ou négative) de la translation. Cette fraction est aussi petite qu'on le veut.

ckAPITRE II. - VIS SANS FIN. 219

filets carrés, ce qui est le cas le plus habituel, la forme des dents de la roue, supposée toujours infiniment mince, devra être la même que si cette roue était destinée à engrener avec une crémaillère à flancs droits.

Rétablissons Tépaisseur de la roue : il résulte de l'inclinaison des filets de la vis que si l'on taillait, suivant le profil en développante déterminé par les considérations précédentes, une dent cylindrique à génératrices perpendiculaires au plan de la roue, celle-ci ne pourrait pénétrer dans les creux de la vis; il faut donc rendre la dent oblique, et lui donner l'inclinaison de l'hélice moyenne, avec un jeu suffisant. La forme de la roue se trouve ainsi complètement déterminée.

La loi du rapport des vitesses angulaires est telle que, pour un tour de la vis, il passe une dent de la roue, de sorte que la vis, à ce point de vue, doit être assimilée à un pignon d'une seule dent.

L'engrenage est ou n'est pas réciproque, suivant la grandeur dé l'inclinaison du filet de la vis sur son axe. Si, comme dans la plupart des cas, cet angle est voisin de 90°, la roue ne saurait communiquer le mouvement à la vis, quelque force qu'on fasse agir sur elle : on utilise cette propriété dans plusieurs machines.

A partir d'une certaine obliquité du filet, il y a réciprocité, et l'on trouve dans les anciens tournebroches une vis conduite par une roue : mais cette disposition est très peu usitée.

Vis multiples. — Dans le cas d'une forte obliquité de l'hélice, le pas de la vis occupe une grande longueur, et il serait impossible, en conservant la même disposition que précédemment, d'avoir toujours un filet en prise. On dispose alors deux ou trois filets sur un même noyau : chacun d'eux conduit pendant un demi-tour ou un tiers de tour. En général, si n est le nombre des filets, il passe n dents pour chaque tour de la vis; c'est-à-dire que celle-ci se comporte comme un pignon à n dents.

Vient-on à multiplier de plus en plus le nombre des filets, la longueur de la vis n'est plus qu'une fraction restreinte du pas. La vis finit même par devenir semblable à la roue portée par l'autre axe : l'engrenage est alors parfaitement symétrique.

220 DEUXIÈME SECTION. — THÉORIE DES MËGÀmSMES.

Mais ce mécanisme est détestable en pratique (sauf quelques cas spéciaux) : il donne lieu à des frottements considérables, et on doit conseiller de le remplacer par Tengrenage hyperbol oïde.

Vis tangente. — La vis tangente est une modification de la vis sans fin, dans laquelle la denture du pignon, au lieu d'être limitée à un cylindre de révolution concentrique au cylindre primitif, se termine par une gorge en forme de tore embrassant la vis sans fin. On l'emploie quelquefois dans les machines à diviser, où la vis tangente a l'avantage de donner aux deux pièces un contact très intime qui empêche le plus petit recul. Ces vis sont ordinairement à plusieurs filets suffisamment fins.

L'épure de la vis tangente est assez compliquée. En effet, chaque section faite dans la vis par un plan perpendiculaire à l'axe de la roue agit comme une crémaillère sur la section correspondante de la roue. Or les courbes qu'on obtient en coupant une vis par une série de plans parallèles à son axe sont toutes différentes, et comme l'avantage de l'engi^enage à vis tangente consiste en partie dans l'intimité du contact, il faudrait déterminer avec soin la série des sections perpendiculaires à l'axe de la roue, en rapport avec les profils connus fournis par la vis. Une pièce aussi compliquée serait certes extrêmement pénible à réaliser.

On évite la difficulté d'exécution par l'emploi d'une vis tailleuse en acier, de même forme que la vis définitive; on la creuse de cannelures pour la rendre tranchante, puis on la trempe convenablement. On exécute ensuite un disque à gorge en cuivre; on installe ce disque et la vis sur un tour, et on fait tailler le disque peu à peu par la vis, en rapprochant celle-ci à mesure qu'elle entaille la roue, jusqu'à ce que la gorge vienne affleurer le noyau (* ).

( ■) Compteur de Wollaston. — On peut citer parmi les usages de la vis tangente l'application qu'en a faite Wollaston pour l'établissement d'un compteur destiné à enregistrer le nombre des tours faits par un arbre à mouvement très rapide.

La vis tangente A est fixée sur l'arbre dont on veut mesurer la vitesse {fig- 176); elle engrène avec deux roues ou demi-roues C, D, l'une de 100, l'autre de ici dents, symétriquement placées par rapport au plan médian

CHAFITBE II. — ENGRENAGES CTLINDRIQCES-

4" Détaila géuéranx bot les engrenages.

La forme ordinaire d'une roue dentée est celle d'une couronne cylindrique ou conique, portant sur tout son contour des dents égales et également espacées. Ces dents sont ellesmêmes limitées par des surfaces réglées, disposées de telle manière, que le contact de deux dents en prise s'effectue tout le long d'une génératrice commune, afin que la pression se trouve convenablement répartie.

Il y a deux éléments importants à considérer dans une roue dentée : ce sont le pas, a, et le nombre des dents, N ; le rayon de la circonférence primitive est lié à ces deux quantités par la relation

. 27tR = Na.

Nous avons dit que le pas est essentiellement le même pour deux roues qui engrènent l'une avec l'autre; donc :

Les rayons des circonférences primitives d'un engrenage sont proportionnels aux nombres de dents des roues;

Et par suite,

Les vitesses angulaires des deux arbres sont dans le rapport inverse des nombres de dents des roues.

Il résulte de cette règle que, pour qu'on puisse établir un engrenage dans un rapport donné, il est indispensable que ce

N rapport soit exprimé par le quotient - de deux nombres entiers. Il faut même que ces nombres entiers ne soient ni trop' grands ni trop petits pour être admissibles (à peu prés de

de la vU sur un arbre auxiliaire B, perpendiculaire au premier. La est calée sut l'arbre B, la roue D est folle sur le même arbre e( po cadran devant lequel se trouve une aiguille e, solidaire avec la r D'après les lois du rapport des vitesses dans l'engrenage à vis sa le cadran fait un tour pour loi révolutions de la vis; or pendant ce l'aiguille a fait f^ de tour ; elle est donc en avance par rapport au da centième de la circonférence de celui-ci, et elle ne reviendra à soi de départ que lorsque l'arbre A aura fait lo loo tours.

8 à i2o) : aussi verrons-nous la théorie des nombres jouer un certain rôle dans Tétude des rouages.

Si les nombres N et /i sont premiers entre eux, chaque dent de l'une des roues vient successivement en prise avec toutes les dents de Tautre roue : on recherche en général, dans la pratique, cette disposition qui rend l'usure plus égale. Les horlogers, au contraire, s'efforcent de prendre N et n ayant des facteurs communs, afin qu'une dent déterminée revienne toujours aux mêmes dents de l'autre roue, ce qui laisse moins de chances à l'irrégularité.

Amplitude de prise. — Un engrenage ne pourrait pas fonctionner s'il n'y avait toujours au moins une couple de dents en contact; et encore, s'il n'y avait jamais que deux dents en prise, on aurait presque toujours un choc au moment où, l'un des couples se quittant et l'autre étant sur le point d'entrer en prise, la transmission se trouverait pendant un temps très court interrompue. Quelquefois on s'arrange de façon qu'il y ait constamment contact de deux couples, mais cela n'est pas nécessaire : il suffît que l'amplitude de prise ait une étendue supérieure à un pas.

Cela posé, nous verrons dans la IV® Section que le frottement est d'autant plus dur que le point de contact des dents s'éloigne davantage de la ligne des centres, surtout avant le passage de cette ligne. On conclut de là la convenance de répartir la durée de l'action de part et d'autre de la ligne des centres, mais de la répartir inégalement, de manière que Varc d'approche soit toujours inférieur ou au plus égal à Varc de retraite. On pourra, par exemple, faire le premier de ces arcs ,égal à un demi-pas, et le deuxième à trois quarts de pas.

Une fois qu'on a fixé la valeur de ces deux arcs, il est facile de limiter graphiquement la saillie des dents, dans chacun des systèmes usités en pratique. Indépendamment de la méthode rigoureuse, il existe plusieurs règles empiriques pour déterminer cet élément important.

La règle que nous avons donnée (p. 197) suppose une saillie égale pour chacune des deux dentures (comme cela doit nécessairement avoir lieu quand le sens de la commande n'est pas déterminé); elle peut être employée en toute sécurité quand les nombres de dents des roues surpassent i5.