CHAPITRE I. — MOUTEMENT SIMPLE d'uN POINT

toire sous la forme ordinaire, à moins toutefois qu'on n'aime mieux conserver, pour représenter la trajectoire, les trois équations (i) qui définissent cette courbe par l'intermédiaire d'une variable auxiliaire ty ce qui sera tout aussi commode.

Les relations (i) s'appellent les équations du mouvement du point M.

Nous avons ainsi ramené Tétude d'un mouvement curviligne quelconque à celle de trois mouvements rectilignes simultanés; mais il importe encore de faire voir comment on peut déduire les divers éléments du premier de ceux des deuxièmes, supposés connus.

Auparavant, remarquons que, dans notre manière de considérer la vitesse, cette quantité est une longueur ds, affectée d'un dénominateur numérique dt.

D'après cela, la direction de la longueur finie -r est celle

de l'élément ds, prolongé dans le sens du mouvement; et, si l'on veut avoir la définition complète de la vitesse d'un mobile, au double point de vue de la grandeur de cette droite et de sa position dans l'espace, il faudra porter une longueur

ds égale à -j sur la tangente à la trajectoire de ce mobile {fig. 12),

à partir du point de contact et dans le sens du mouvement. La droite MN, ainsi obtenue, représentera à la fois la grandeur, la direction et le sens de la vitesse du mobile.

Nous pouvons maintenant chercher les relations de position et de grandeur qui existent entre la vitesse du point M et les vitesses des trois projections de ce point.

Vitesses dans les mouvements simultanés^ — Considérons sur la trajectoire un point M' infiniment voisin du point M (yî^. i4), de sorte qu'on puisse indifféremment regarder ce point M' comme situé sur la courbe elle-même, ou sur la tangente au point M.

Les accroissements infiniment petits des coordonnées dxy dy, dz forment les trois côtés d'un parallélépipède dont ds est la diagonale. Construisons un parallélépipède semblable sur les mêmes arêtes prolongées, et donnons-lui des côtés qui soient à leurs homologues dans le premier parallélépipède comme l'unité est à dtl

38 PREHIÈBE SECTIOH. — CINfillIATIQUE PUBE.

Les côtés lie ce nouveau prisme seront respeclivemeni égaux à

da: dy dz ~di' ~di' 'di'

et il est évident que la diagonale prendra la valeur correspondante -j-i en conservant d'ailleurs sa direction, qui est celle

de la tangente à la trajectoire.

On déduit de là les résultats suivants :

Trëokèxe L — La vitesse d'un mobile est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélépipède fait sur les vitesses simultanées de ses trois projections,

ThëOrëhe II. ■ — La vitesse de la projection d'un point sur un axe quelconque est égale à la projection, faite sur le même axe et parallèlement au même plan, de la vitesse du point donné.

Enfin, si l'on considère le mouvement de la projection du point M sur un plan quelconque xKy, on voit encore, à l'inspection de \^fig. i4. que :

TbëOrëhb III. — La vitesse de la projection orthogonale ou oblique d'un point sur un plan quelconque est, en grandeur et en direction, la projection de la vitesse du mobile sur ce plan.

Cas d'une trajectoire plane. — Quand la trajectoire est une gne plane, il est naturel de la rapporter à des axes situés ans son plan (Jlg. i5); on n'a plus alors à considérer qu'un nangle infiniment petit MM'N, dont les côtés sont respeciiement proportionnels à la vitesse du mobile et aux vitesses e ses deux projections.

Ce triangle est connu dans la Science sous le nom de triangle ifmitésimalde Barrotv, nom qu'on devrait remplacer par celui e triangle de Fermât,

Fermât est en effet le premier qui ait étudié les propriétés e ce triangle célèbre, propriétés qu'on doit reconnaître omme le point de départ de la méthode des fluxions et de i découverte du Calcul infinitésimal.

Les théorèmes auxquels donne lieu la projection du mou-