CHAPITRE I. — MOUVEMENT SIMPLE d'uN POINT. Sg

vemenlplan ne diffèrent pas de ceux que nous avons démontrés plus haut.

Digression sur les résultantes ou sommes géométriques.

On énonce ordinairement les théorèmes sur les mouvements simultanés d'une manière qui nécessite quelques définitions préalables.

Définition. — Étant donnée une série de droites ayant chacune une longueur^ une direction et un sens bien déterminés, si, en partant d* un point quelconque^ on porte toutes ces droites bouta bout, la ligne qui, partant du même point, ferme le polygone ainsi formé, s'appelle la résultante des lignes données.

Ainsi OY {fîg. i6) est la résultante des droites OA, AB, . . . , droites qui, relativement à la ligne OF, reçoivent la dénomination de composantes»

Propriétés des résultantes géométriques, — On voit en premier lieu qu'une résultante ne change pas quand on intervertit Tordre de deux composantes consécutives et, par suite, celui de deux ou plusieurs composantes quelconques.

En deuxième lieu, on voit que la résultante diffère seulement par le sens qui lui est attribué, du côté qui fermerait le polygone des composantes.

Enfin il est évident que la projection d'une résultante sur un axe quelconque est la somme algébrique des projections des composantes sur le même axe.

Lorsqu'il y a seulement deux composantes {fig. 17), la résultante est la diagonale du parallélogramme fait sur ces deux droites, supposées portées dans un sens convenable à partir d'une origine quelconque 0. Quand ces mêmes composantes sont au nombre de trois {fig. 18), la résultante est la diagonale du parallélépipède des composantes.

On peut donc énoncer le théorème suivant, qui comprend à la fois le cas du mouvement dans un plan et celui d'un mouvement quelconque :

Théorème IV. — La vitesse d'un mobile est la résultante des vitesses simultanées de ses projections.

4o PREMIÈRE SECTION. — CmÉMATIQUE PURE.

Relations analytiques entre les composantes et la résultante : i<* Cas du triangle ou du parallélogramme. — Soieat ( fig. 19) A et B deux droites, R leur résultante; on a, par la Trigonométrie rectiligne,

sinA,B sinB,R sinA, R R2 z= A^ -H B2 -h 2 AB cosÂTb, A* nz: B2 -h R2 — 2 BR cosBTR, B2 rrz A^ -+- R2 — 2 AR cosÂjS.

La dissymétrie des dernières formules tient à ce que la résultante ne se compte pas dans le même sens que ses composantes.

Quand Tangle des deux composantes est droit, les formules deviennent

A=:RcosA,R,

B = RcosB7R, R2 =1 A' -h B2.

2° Cas du parallélépipède. — Bornons-nous au cas le plus habituel, celui où les trois composantes sont rectangulaires.

Soient A, B, C les composantes, R la résultante, a, ê, y (*)

les angles formés par cette ligne avec les trois premières.

On a

A = Rcosa,

B = Rcosj3,

C — Rcosy;

Rî z= A^ -h B2 -f- C^

3° Cas d* un polygone ou d'un nombre quelconque de com-

(*) Les angles a, p, y sont liés entre eux par la relation

cos'a 4- cos'p -f- cos*Y = j ;

il est pourtant nécessaire de connaître ces trois angles, pour que la direction de la droite à laquelle ils appartiennent soit bien définie; et même, lorsque ces angles sont donnés chacun par une ligne trigonométrique, il est indispensable que cette ligne soit un cosinus, c'est-à-dire une ligne^^qui change de signe quand on passe d'un arc à son supplément, et qui ne change pas, quel que soit le sens dans lequel on mesure l'angle compris entre deux directions déterminées.