CHAPITRE IV. — VITESSES EN RAPPORT VARIABLE

deux rotations continues, s'effectuant autour de deux arbres parallèles. Le même système se prête à la production d'un mouvement alternatif, quand l'excentricité est supérieure à la longueur de la manivelle pleine.

2° Âzes concourants.

Joint universel (*). — Considérons deux arbres dont les prolongements géométriques se rencontrent (y?^. 219), et qui forment un angle voisin de i8o<». Chacun de ces arbres est terminé par une fourche, et les deux fourches sont ellesmême* réunies par un croisillon invariable, qui s'assemble avec elles au moyen de quatre points d'articulation.

Le mouvement de l'un des deux arbres se communique à l'autre par l'intermédiaire du croisillon, mais la transmission n'est pas uniforme. Le rapport des vitesses varie, comme nous allons le voir, d'autant plus que l'angle des deux axes est plus considérable : aussi le joint universel ne peut-ils'employer avec quelque avantage que dans le cas 011 cet angle est assez faible. On y a recours, par exemple, pour relier les deux tronçons d'un arbre trop long pour être fait d'une seule pièce : Tinterposition du joint universel dispense de la nécessité d'ajuster les paliers avec précision. De plus, l'angle des deux axes peut varier, sans qu'il résulte de cette circonstance des efforts anormaux sur les pièces du mécanisme. Seulement, ces effets n'étant obtenus qu'aux dépens de la régularité (^), on doit se garder de faire servir le joint universel à la transmission d'efforts un peu considérables.

Soient OA, OB les deux axes de rotation; les bras du croisillon sont représentés par les droites CC, DD^ perpendiculaires : la première à l'axe OA, la seconde à l'axe OB.

La droite DD', assujettie à rester perpendiculaire à l'axe OB, décrit un plan dont la trace sur une sphère ayant son centre en est le grand cercle E, tandis que les extrémités de la

(•) Le joint universel est aussi connu sous le nom adjoint de Cardan ou joint hollandais. M. Willis en attribue l'invention à Hooke ( 1674)'

(*) Rappelons à cette occasion que M. Porro a imaginé une sorte de joint universel à rapport constant (p. 214 ), qui jouit des mêmes propriétés que le joint de Cardan.

S76 DEUXIÈME SECTION. — THÉORIE DES HÉGàNISMES .

droite CC décrivent le grand cercle F, perpendiculaire à Taxe OA. Comme de plus les droites OC, OD sont perpendiculaires entre elles. Tare CD est constamment égal à un quart de grand cercle; et la position de l'un des points C, D sur sa trajectoire est connue, lorsqu'on a la position de l'autre point sur la sienne.

On peut donc chercher la loi de la transmission du mouvement par le joint universel, en étudiant les lois du mouven[ient sphérique des extrémités d'un arc de grand cercle égal à un quadrant, qui se meut entre deux grands cercles dont l'angle est égal au supplément de l'angle des axes {fig. 220).

Partons de l'instant où le croisillon est dans le plan perpendiculaire à l'axe A. Représentons par Ci, Di deux positions simultanées des points d'articulation C, D; et désignons par ^ et/ les arcs CCi, DDj, décrits par ces points à partir de leurs positions initiales.

Le déplacement x du point C, extrémité d'une perpendicu- Jaire à l'axe A, mesure la rotation de l'arbre correspondant; de même, l'arc y mesure la rotation autour de l'axe B.

Or on a dans le triangle DDiCj :

cos- = cos ( — \- x\ cosj -f- sin ( — v- x\ sin/ cos D,

ou

sin X cos/ = cos^r sinj^ cosD,

ce qui donne

tang^ = tang j cosD ( * ).

En ditférentiant cette équation, on trouve le rapport des vi-

dy t esses angulaires simultanées, lequel est égal à ^- On obtient également ce rapport en appliquant les principes de la composition des rotations : en effet, les trajectoires des points Ci, Di étant connues, le pôle instantané de la rotation du croisillon est en I, intersection des arcs normaux à DDi et CCi. Cela posé, on a

g/ sinlD^ sinICiDi __ cosCCiDi w^ ~" sinICi ~~ sinlDiCj ~ cosDDjCi

C) Dans ces équations, D est l'angle aigu des deux axes de rotation.