CHAPITRE I. — MOUVEMENT SIMPLE d'uN POINT

posantes, — Soit D Tune de ces composantes; on a, en projetant sur trois axes rectangulaires quelconques,

R cos R, ^ = V D cos D, ^ =: X, R cos R^ = 2 ^ cosî)^ = Y, RcosR, 5 = Vd cosD, ^i=Z, équations d'où Ton conclut

cos R, ^ = —

cosR, j~

cosR, >s~ — z

v/XM-Y^ + Z^ Z

Toutes les fois qu'on considère des grandeurs géométriques, c'est-à-dire des longueurs à chacune desquelles est affecté une certaine direction, un certain sens, les résultantes prennent la plate des sommes proprement dites; on pourrait les api^eler sommes géométriques, pour rappeler l'idée de sommes dans lesquelles on a égard à la direction, de même que dans les sommes algébriques on a égard au signe des quantités qu'il s'agit de sommer.

Une longueur n'a pas de signe, elle doit être portée sur sa direction dans un certain sens; ses projections ont un signe, c'est celui du cosinus de l'angle formé par la ligne qu'on projette avec Taxe de la projection. Une fois que plusieurs longueurs sont ramenées par la projection à une direction unique, la résultante se transforme en une somme algébrique.

Il suit de là que les résultantes jouissent de toutes les propriétés des sommes : ainsi l'on peut les construire ou les calculer sans avoir égard à Tordre de leurs éléments constituants ; on peut aussi trouver d'abord la résultante d'un certain nombre de ces éléments, puis une deuxième résultante partielle, une troisième, etc., et chercher enfin la résultante de toutes ces résultantes.

J'ai dit qu'une longueur n'a pas de signe; cependant, quand la longueur qu'il faut porter dans un certain sens est une fonction de quantités algébriques susceptibles de prendre plusieurs valeurs, il est possible que certaines de ces valeurs rendent la fonction dont nous nous occupons négative. Mais ceci n'allère en rien la généralité des formules et ne peut donner lieu à aucune difficulté.

Théorie générale des mouvements simultanés,

La considération des mouvements simultanés d'un point et de sa projection sur un axe quelconque nous a donné le moyen de ramener l'étude du mouvement sur une trajectoire courbe à l'élude du mouvement rectiligne.

Mais là ne se borne point l'utilité de cette idée bien simple, qui consiste à chercher des relations entre les éléments de divers mouvements assujettis à s'accomplir simultanément.

Il est évident que, si l'on se donne une loi géométrique quelconque, en vertu de laquelle la position d'un certain point mobile soit liée à celle d'un ou plusieurs autres points, cette loi établit nécessairement une relation entre les vitesses simultanées des divers points que l'on considère. On trouvera cette relation, analytiquement par différentiations, géométriquement par des procédés particuliers, basés sur des règles que nous allons exposer, en généralisant la théorie qui précède.

Les théorèmes de Cinématique qui sont relatifs aux vitesses simultanées dérivent des énoncés géométriques ordinaires, comme l'équation qui donne le coefficient angulaire de la tangente à une courbe dérive de l'équation finie de cette courbe. Inversement : les rapports des vitesses de tous les points d'une figure mobile sont nécessairement indépendants du temps, en vertu de la simultanéité des mouvements ; donc ces rapports sont des quantités purement géométriques, et l'on voit qu'on repasse immédiatement de la Cinématique à la Géométrie; ou plutôt, une relation quelconque entre des vitesses simultanées peut s'énoncer indifféremment avec le langage de la Cinématique ou celui de la Géométrie pure : nous avons déjà dit que des considérations du genre de celles qui nous occupent actuellement, fécondées par le génie de Newton, ont été l'ori-