CHAPITRE I. — MOUYEUENT SIMPLE d'uN POINT

Dans ce cas, les normales aux trois courbes sont les données de la question, et le problème se trouve ramené par ce qui précède à la recherche d'une perpendiculaire à la droite considérée, perpendiculaire qui soit divisée par les trois normales dans le rapport donné.

Voici deux cas particuliers de ce problème :

Centre de courbure de V ellipse. — On sait que les parties de la normale à Tellipse, comprises entre la courbe et les axes,

b^ sont dans le rapport constant -j- Il suit de là que la solution

que nous venons de trouver nous fera connaître le centre de courbure de Tellipse, en considérant ce point comme celui où la normale est tangente à son enveloppe, c'est-à-dire à la développée de Tellipse.

Soit {fig. 3i) MM'M" la normale donnée. Nos trois courbes sont ici Tellipse elle-même, et ses deux axes CA, CB. Traçons les normales M'N', M'^N'^; il s'agit de construire une perpendiculaire à MM', telle que Ton ait

ON' MM' b^

ON" ~ MM" "" à" '

Soit T le point où la tangente à Tellipse rencontre Taxe focal : je dis que la ligne M"T passe par le point N'.

En effet, prolongeons MT jusqu'au point K où cette ligne rencontre M'^N"; on a évidemment

on; MT MM '

ON' "" MK "" MM'' '

De là la construction suivante :

Élever en M' une perpendiculaire à M'M; par le point I où cette perpendiculaire vient couper le rayon CM, mener 10 parallèlement à CB ; cette ligne rencontre MM" au centre de courbure.

Centime de courbure de Vépicycloïde. — L'épicycloïde est la courbe engendrée par un point M {fig* Sa), lié à un cercle (Cj), lorsque ce cercle roule sur un cercle fixe (C).

On sait que la normale à cette courbe est la ligne qui joint le point décrivant M au point de contact M' des dQux cercles.

Joignons MCi et menons par G une parallèle à celle ligne, jusqu'à la renconlre de la normale, en M". On a

en appelanl R, R, les rayons respeclifs du cercle fixe el du

cercle mobile. Or G, M esl conslanl; donc GM" esl égalemenl

conslant, el le lieu du poinl M" esl un cercle concenlrique au

cercle (G).

De plus,

MM^ Rt

donc la normale MM' esl divisée par la courbe elle-même el par les deux cercles décrils aulour du poinl G en deux segmenls donl le rapporl esl conslanl, el l'on aura le centre de courbure de l'épicycloïde en conslruisanl une perpendiculaire ON'N" à MM', lelle que l'on ail

Oî^ __ Ri

Pour cela, élevons en M' une perpendiculaire sur MM% 1erminée à MGj, joignons AG; le poinl de renconlre de celle ligne avec MM' n*esl aulre chose que le poinl (*).

En efifel, prolongeons AM' jusqu'en R; on a bien

ON' AM' Ri N'N"""M'R "" R*

Ges exemples monlrenl que le problème des cenlres de courbure se résoul par les mêmes principes que le problème des langenles. .

De même que nous avons ramené au premier ordre les questions qui se rapportenl au deuxième ordre difFérenliel, nous y ramènerions évidemmenl celles du troisième ordre, el ainsi de suile.

( • ) Cette construction porte le nom de construction de Savary,