CHAPITRE I. — MOUVEMENT SIMPLE d'UK POINT
conque, Tare de courbe MoM et la ligne brisée MqTM, nous démontrerons par un raisonnement analogue que :
Théorème IV. — L'accélération totale de la projection d'un mobile sur un plan est la projection de l'accélération totale sur ce plan.
Construction de l'accélération totale. — De la définition que nous avons donnée de Taccélération totale résulte *un premier moyen de construire cette quantité en grandeur et en
direction. Il suit en effet de cette définition que :
Théorème V. — 5/ l'on considère l'arc parcouru pendant le temps infiniment court 0, et qu'on porte sur la tangente à cet arç une longueur MqT = v^Qy la ligne TM donne la direction de l'accélération totale; et, en divisant la longueur de cette ligne par le carré du temps, on obtient la moitié de J.
Ce résultat peut encore s'énoncer ainsi :
La corde du chemin parcouru pendant le temps 6 est la résultante des quantités v^B et -| J0*.
Les équations
Vy=:sB
fournissent une autre construction de l'accélération totale {fig- 5o), quand on connaît les vitesses v^ et v en grandeur et en direction; en efTet :
Théorème VI. — La vitesse, au bout d'un temps infiniment petit B, est la résultante de la vitesse initiale v^ et de la vitesse JB.
En d'autres termes :
Si l'on décompose la vitesse v en deux, dont l'une soit la vitesse initiale v^, l'autre sera en grandeur et en direction égale à J0 (^).
(*) Dans le mouvement rectiligne, les deux quantités (^^ et JO ont une direction commune, et c'est leur somme algébrique qui donne la vitesse finale v. Dans le cas général, la somme est remplacée par une résultante, comme cela arrive toutes les fois qu'on a à ajouter des longueurs dont les directions ne sont pas les mêmes.
Quand on connaît les lois du mouvement des projections du mobile sur trois axes, on a, d'après le théorème III, les projections correspondantes de Taccélération totale; on. peut donc construire cette quantité.
Ceci démontre le théorème suivant, qui n'est autre chose que le théorème III sous une autre forme :
Théorème VII. — Les accélérations des projections d'un point mobile, sur trois axes coordonnés quelconques, ont une résultante qui est située dans le plan osculçLteur de la trajectoire, et qui représente en grandeur et en direction l'accélération totale J.
La grandeur et la direction de cette résultante sont indépendantes du système d'axes considéré.
Enfin, quand on connaît la trajectoire et la loi du mouvement du mobile sur cette trajectoire, on peut construire l'accélération totale en n'employant que des quantités finies et sans passer par l'intermédiaire des projections du mouvement sur trois axes.
dç^ '
Pour cela, calculons la quantité -t-> que nous appelions
simplement l'accélération, quand nous étudiions le mouvement indépendamment de la trajectoire.
Reprenons pour axes la tangente à la trajectoire, au point Mo, et la direction de l'accélération totale {/ig- 5o) : on a, dans ce système et pour tous les points compris entre Mo et M,
d'où
^2^O2^J2 0J^2(^<'J0COSa.
Différentions cette équation, il vient
(i5) ç — ~pe-^ ç'^^Jcosa;
d'où, comme 6 est infiniment petit et que par suite ^ diffère
infiniment peu de (^^,
di^ -
-y- 1=: j cosa.
dt
