CHAPITRE I. — MOUVEMENT SIMPLE d'uN POINT

qu'on porte respectivement sur ces lignes des longueurs égales

dv v^

à -j- et à —) la diagonale du parallélogramme construit sur

ces deux droites représente en grandeur et en direction V accélération totale du mobile.

Nous avons maintenant ce qu'il faut pour compléter l'étude du mouvement oscillatoire défini par les équations (4), (5) et (6) (p. 63).

Dans le mouvement circulaire uniforme du point M, l'accélération totale est centripète; elle a pour valeur w'R. La projection de cette ligne sur le diamètre OC ou sur l'axe Ky est

Jyr= co^Rcosco^.

C'est précisément l'expression que nous avons trouvée directement pour l'accélération du point P.

Faisons encore une application de la théorie tout à fait capitale que nous venons d'exposer.

Accélération totale dans le mouvement des planètes

autour du Soleil.

i<> Je dis en premier lieu que l'accélération totale est dirigée constamment vers le foyer ou pôle F, autour duquel les aires décrites sont proportionnelles aux temps {fig. 54).

En effet, considérons la planète dans urïe position quelconque Mo, et soient M, Mi deux positions infiniment voisines de la première, répondant à deux intervalles de temps consécutifs égaux.

Comme les aires parcourues sont proportionnelles aux temps, on a

MMjFiziFMMo.

Cela posé, pour avoir la direction de Taccélération totale, il faut prendre sur la direction de l'élément Mo M une longueur MqT, égale à l'espace parcouru en vertu de la vitesse v^ pendant le temps correspondant au déplacement réel MoMi et joindre le point T au point Mj.

Les deux éléments consécutifs du temps ayant été pris égaux, on a

MT^MoM;

d'où Ton conclut

MTF = FMMo = MMiF.

Mais, les deux triangles MTF eiMMiF ayant la base MF commune, leurs sommets T, Mi sont sur une parallèle à cette base; donc TMi est parallèle à MF, et la direction de Taccélération totale au point Mo est celle du rayon vecteur MF ou Mo F.

2<» Nous avons trouvé précédemment, en supposant la vitesse aréolaire constante et égale à C, que la vitesse correspondante V du mobile sur sa trajectoire avait pour expres-

sion .: donc

rcosi

p p /*^ cos^ i

D'après la théorie précédente, cette quantité est aussi égale à Jcost; on a ainsi, pour Taccélération totale :

r-x pcos^i

Newton a démontré, d'autre part, que le produit pcos'i est constant dans Tellipse; donc Taccélération totale varie en raison inverse du carré de la distance de la planète au Soleil. Remarquons que notre premier résultat est indépendant de la nature de la courbe décrite ; ainsi :

Toutes les fois que les aires décrites par un mobile autour d'un point fixe F sont proportionnelles aux temps y V accélération totale est dirigée vers le point F.

Quant à la grandeur de cette accélération totale, elle dépend de la nature de la trajectoire et de la position du pôle F dans le plan de cette courbe par la quantité p cos^i. Ainsi :

Dans Tellipse rapportée à son centre, on trouve

pcos'i = -3> J — K'r;

• Dans la spirale logarithmique, on a

pCOS'f=:Kr, Jrzi-^.