CHAPITRE II. — MOUVEMENT RELATIF d'UN POINT. 9I

Ou bien :

Théorème VI. — Lorsque le mouvement d* entraînement est un mouvement de translation, V accélération totale relative est la résultante de ^accélération totale absolue et de l'accélération d'entraînement prise en sens contraire.

Construisons {^g. 68) le triangle MA Ai formé, à une époque déterminée, par les vitesses Vg, Vy et v. Au bout du temps 0, ce triangle est devenu M A' A',, et la ligne AiA'i représente Taccélération J du mouvement absolu, multipliée par le facteur numérique 9.

Quel que soit le nombre des mouvements composants, pourvu que tous les mouvements d'entraînement soient des translations, on obtient toujours {^fig. 69) l'accélération du mouvement composé en joignant les sommets homologues du polygone des vitesses; et la figure montre que cette accélération est bien la résultante géométrique de toutes les accélérations composantes.

Ces résultats ne diffèrent en aucune façon de ceux qui sont relatifs à la composition des vitesses.

2° Cas. — Etude de la composition des accélérations lorsque le système solide est animé d'un mouvement de rotation.

Si nous supposons maintenant que les axes auxquels on rapporte le mouvement relatif soient animés d'un mouvement quelconque, la tangente à la trajectoire relative, au point M {fig* 70), ne conserve pas une direction constante ; de sorte que, quand le point M se trouve transporté en M', le point Ti, extrémité de la longueur VrO, ne coïncide pas avec le quatrième sommet du parallélogramme construit sur T'T et T'M'. Soit Y'r ce quatrième sommet, on a

mais ces trois lignes ne. forment pas les trois côtés d'un triangle, et l'on ne peut plus dire que la première soit la résultante des deux autres.

En effet, il existe une lacune entre les points V';. et Tj, en

raison du déplacement angulaire de la tangente MV,.. De plus, on ne peut pas dire que cette lacune soit négligeable; car la distance Tj V^ est le troisième côté d'un triangle isoscèle dont les côtés égaux sont infiniment petits du premier ordre et comprennent un angle qui est lui-même infiniment petit du premier ordre. Il suit de là que le troisième côté de ce triangle est infiniment petit du second ordre, et comparable aux autres grandeurs considérées (^).

Il faut donc ajouter une quatrième ligne aux trois lignes que nous considérions tout à l'heure, pour avoir un polygone fermé; et, dans le cas général, on doit considérer l'accélération relative comme la résultante de l'accélération absolue, de l'accélération d'entraînement prise en sens contraire et d'une troisième accélération complémentaire, dont la direction est celle de la droite TiV^ et dont la grandeur s'obtiendra en divisant la longueur Ti V'^, par \ 6^.

DéternTination de V accélération complémentaire. — Cette longueur TiV'^. est le produit de M'Ti par l'angle infiniment petit TjM'V;; or M'Tj est égal à 9rB, et l'angle M' n'est autre chose que l'angle formé par deux positions infiniment voisines de la tangente à la trajectoire relative, au point M.

Pour calculer cet angle, qui dépend uniquement du mouvement des axes mobiles, nous supposerons que ce mouvement soit une rotation uniforme w, représentée par la droite OP {fig. 71). C'est ici seulement qu'il y a lieu d'introduire cette restriction, tout ce qui précède s'appliquant à un mouvement d'entraînement quelconque.

Par le point 0, menons deux droites, parallèles respectivement aux droites MV,. (ou M^V^) et M'Ti. Ces deux lignes sont également inclinées sur l'axe OP : on peut les considérer comme deux génératrices d!un cône de révolution dont l'axe serait OP; et l'angle formé par les deux plans méridiens correspondants est précisément égal au déplacement angulaire w^ de tout le système pendant le temps 0.

(•) Cette lacune existait également dans le triangle des vitesses, mais il n'y avait pas à en tenir compte, car les grandeurs dont on s'occupait alors étaient des infiniment petits du premier ordre.