CHAPITRE II. — MOUVEMENT RELATIF D'L'N POINT

Il suit de là que Fangle des génératrices elles-mêmes est le produit de wô par le sinus du demi-angle au sommet du cône, c'est-à-dire par le sinus de Tangle formé par la direction de la vitesse relative t^,. avec la direction de la droite qui représente la rotation w.

On a donc en définitive

Tj V'^ = (^,. X w sin 0), i^,. r=z 0) ç^. sin co, (^|. x 0%

relation de laquelle on conclut la longueur de la droite qui ferme le polygone des accélérations :

'' -= 2Cii)i^,. sinco, i^r

Accélération centrifuge. — Remarquons enfin que dans le cas auquel nous nous bornons actuellement, celui d'un système de comparaison animé d'un mouvement de rotation uniforme, l'accélération d'entraînement, pour un point situé à une distance r de l'axe, est centripète et égale à co^r; donc cette accélération, prise en sens contraire, est centrifuge, et elle a la même valeur w^/*.

De là le théorème suivant :

Théorème VII. — Quand le mouvement d'entraînement est une rotation uniforme autour d'un axe fixe, V accélération relative est la résultante de V accélération absolue, de Vaccélération centrifuge et d'une troisième accélération qu'on appelle accélération centrifuge composée.

Cette dernière est égale au double produit de la vitesse relative par la vitesse angulaire des axes mobiles, et par le sinus de l'angle formé par la vitesse relative avec l'axe de rotation du système.

Ce théorème est connu sous le nom de Théorème de Coriolis.

Coriolis est en effet le premier qui ait introduit dans la théorie des mouvements relatifs la notion de Vaccélération centrifuge composée (*). Cette manière d'interpréter les for-

( ') Journal de l'École Polytechnique, XXIV Cahier, p. 142; année i835.

mules est fort élégante; elle permet d'étudier géométriquement un mouvement relatif, sans passer par l'intermédiaire du mouvement absolu, et d'une transformation de coordonnées (^).

Il résulte de l'expression écrite plus haut que l'accélération centrifuge composée s'annule dans trois cas :

1° Lorsque w =:::b;

2° Lorsque (^,. =io;

3° Enfin, lorsque

sina);.f^,. ^=^ o>

c'est-à-dire quand la tangente à la trajectoire relative est parallèle à l'axe de la rotation d'entraînement.

Les Jîg. 70 et 71 montrent que la droite TjV'^ est perpendiculaire à la fois à la vitesse relative et à l'axe de la rotation d'entraînement. Quand on projette le mouvement sur un plan perpendiculaire à OP, l'accélération centrifuge composée est perpendiculaire et proportionnelle à la projection de la vitesse relative ; elle est dirigée de Tj vers V'^,, c'est-à-dire en sens contraire de la rotation de l'extrémité V,. de la vitesse relative.

Si nous supposons un observateur placé dans la direction OP i/ig"' 71) et regardant dans le sens de la vitesse relative, l'accélcralion centrifuge composée sera dirigée vers la gauche de cet observateur. En empruntant à TÉlectrodynamique une forme de langage très usitée dans l'enseignement, nous dirons que :

L'accélération centrifuge composée est dirigée à gauche de la vitesse relative.

(') Coriolis emploie dans son Mémoire la méthode analytique directe, ainsi que l'avaient fait ses devanciers, à savoir : Newton, dans le cas où les axes mobiles ont un simple mouvement de translation; Clairaut, pour le cas d'un mouvement plan quelconque; Ampère, etc.

MM. Bélanger et Poncelet n'ont pas tardé à démontrer géométriquement le théorème de Coriolis; depuis, divers auteurs ont donné de ce même théorème un grand nombre de démonstrations élémentaires, toutes plus ou moins identiques quant au fond.

L'analyse de Coriolis n'est pourtant pas entièrement dénuée d'intérêt; nous la donnons à la fin de cette Section, en restituant aux axes un mouvement quelconque.