CHAPITRE III. — MOUVEMENT D UN CORPS SOLIDE. lOT

puisqu'on a fait

IC'B'=ICB.

En substituant les valeurs (2) dans Téqualion (i), il vient

ICB>-BCB'=i8oo-ICB;

d'où

(3) ICB^zQoOH-— — .

En donnant à Tangle ICB cette valeur, c'est-à-dire en prenant Tare CM perpendiculaire à Tare Cy, bissecteur de l'angle BCB', nous satisferons à Téqùation de condition (i), et nous serons assurés qu'il existe quelque part sur l'arc CM un point I, qui n'a pas participé au déplacement de la figure.

Pour trouver la grandeur de l'arc CI, menons Ico perpendiculaire sur le milieu de la base de notre triangle isoscèle. Dansle triangle rectangle ICw, on connaît le côté Cw qui est la moitié de CC, et l'angle C qui est égal à 9o<>— ^BCB'; on a donc

(4) '^'^^^ï-^ÏI^ÎC^-siniBCB'*

Mouvement infiniment petit.

Dans tout ce que nous avons dit jusqu'ici, le déplacement de nos points de repère A et B pouvait être quelconque. Si nous supposons ce déplacement infiniment petit, on voit. aisément les modifications qu'il faut faire subir aux constructions et aux calculs précédents. Le point C, intersection de deux positions infiniment voisines de la ligne AB, est le point de contact de cette ligne avec son enveloppe, l'arc CI devient perpendiculaire à l'arc AB; enfin la formule (4) se transforme en

(•^) ^^"^^^"^BCB^'

Axe instantané de rotation. — Notre système ayant, à l'instant considéré, deux points fixes : le centre de la sphère et le point I, il résulte des principes que nous avons posés que tous les points de la droite 01 sont également immobiles; le mouvement du solide est une rotation autour de

celle droite lant qu'elle reste fixe, c'est-à-dire pendant an lemps infiniment court (*).

Pendant l'élément de temps suivant, le mouvement du corps est encore une rotation simple, mais autour d'un autre axe, de sorte que le mouvement du corps peut être considéré comme une suite de ces mouvements simples, dont chacun ne présente à l'esprit qu'une idée nette.

Ainsi se trouve établi le théorème suivant :

Théorème de d'Alembert. — Le mouvement d'un corps qui tourne d'une manière quelconque autour d'un point fixe n'est autre chose qu'une rotation de ce corps sur un axe qui passe toujours par le point fixe, mais dont la direction change d'un instant à l'autre : axe que, pour cette raison, on appelle

axe INSTANTANÉ DE ROTATION (^).

Caractère de l'axe instantané, — Il faut bien remarquer que cet axe instantané change de position et dans le corps et dans l'espace tout à la fois. En effet, comme il est immobile dans le corps et dans l'espace pendant le lemps dt et qu'au bout de ce temps on le trouve dans une autre position, il est clair qu'il ne peut plus être au même lieu, ni dans l'espace absolu, ni dans l'intérieur du corps (^).

Lors donc que nous voyons un corps tourner sur un axe qui semble invariable de position dans le corps, mais qui change de position dans l'espace, nous devons affirmer que cet axe n'est 'point l'axe instantané autour duquel se fait réellement la rotation, car l'axe instantané ne pourrait rester immobile dans le corps sans rester également immobile dans l'espace.

De celte remarque bien simple on déduit immédiatement

(*) Ceci veut dire que les vitesses de tous les points du corps sont les mêmes que si ce corps tournait effectivement autour de l'axe que nous venons de déterminer.

Il faut bien se garder d'étendre ce résultat aux accélérations; car notre axe ne reste pas fixe pendant deux éléments successifs du temps.

(») Expression introduite par d'Alembert, Traité de la précession des équinoxeSj p. 83.

(») On peut même ajouter que l'angle qu'il décrit dans l'espace, et qui fait son mouvement absolu, est égal à celui qu'il décrit dans l'intérieur du corps, et qui fait son mouvement relatif.