CHAPITRE III. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOUDE. Io

On comprend même difficilement qu*Euler n'ait pas aperçu toutdesuitecelteconséquence immédiate de sesrecherches(*), et qu'il ait aUendu vingt-cinq ans pour donner celte généralisation du théorème de d'Alembert (*).

Mais, si Ton peut concevoir que le corps (supposé toujours fixé par un point) passe d'une position à une autre position quelconque par l'effet d'une simple rotation autour d'un axe fixe, nous savons que les choses ne se passent pas ainsi dans la réalité, et que le mouvement réel consiste en une suite de rotations autour d'axes sans cesse variables. C'est là une idée qui présente encore une sorte d'obscurité, c'est-à-dire qu'on ne voit pas très bien ce qui arrive au corps, et qu'on a quelque peine à le suivre dans le cours de cette espèce de rotation changeante. Nous allons, avec Poinsot, tâcher d'éclaircir encore cette idée et de présenter à l'esprit quelque image plus nette et plus sensible.

Or, on vient de démontrer qu'un mouvement quelconque d'un corps autour d'un point fixe est une rotation de ce corps sur un certain axe, qui change de position d'un instant à l'autre. Comme cet axe instantané passe toujours par le point fixe, il ne peut décrire dans l'espace qu'une certaine surface conique dont le sommet est en ce point; et de même, il est évident qu'il ne peut décrire dans l'intérieur du corps qu'une autre surface conique de même sommet.

(') « Quatnobrem maximi momenti erit investigare utruna si translatio fuerit finita, etiam detur talis axis. » [Formulée générales pro translatione quacumque corporum rigidorum {Nouveaux Commentaires de Saint» Pe'tersbourg itour 1770, t. XX, p. 199; 1776).]

Le mot translatio est pris ici dans le sens de déplacement, et non dans celui de notre mot translation.

(*) Encore faut-il remarquer que, même à cette époque, Euler est obligé de renoncer, après plusieurs efforts, à démontrer analytiquement la propriété dont il s'agit.

Ce fut Lexell qui, dans le même volume de l'Académie de Saint-Pétersbourg, leva la difficulté ( Theoremata nonnulla generalia de translatione corporum rigidorum, p. 289-270).

D'Alembert, de son côté, ne tarda pas à démontrer, par des voies différentes et fort simples, les deux théorèmes d'Euler sur le déplacement fini (t. VII des Opuscules mathématiques , p. 372; 1780).

Citons encore un Mémoire de M. O. Rodrigues {Journal de Mathématiques, i" série, t. V), où la question est traitée par l'Analyse.

Soient ce commun sommet, et 01 Taxe instantané dans sa position actuelle {fig* 77). Concevons du centre 0, et d'un rayon 01 égal à Tunité, une sphère décrite qui coupe les deux surfaces coniques suivant deux courbes, lesquelles seront comme les bases de ces surfaces. De ces deux courbes, la première (a) est fixe dans Tespace absolu; la seconde (5) est fixe dans le corps et, par conséquent, mobile avec lui dans Tespace.

Divisons le temps t en intervalles égaux infiniment petits dt\ et marquons sur la courbe fixe (u) les positions correspondantes, a, |3, y, 5, ... du pôle l de Taxe de rotation.

Prenons sur l'autre courbe (5), qui sert de base au cône mobile, des arcs la, a6, èc, ...respectivement égaux aux premiers; il est clair qu'au premier instant le corps qui tourne sur 01 amène le point a du corps sur le point a de l'espace; que, dans l'instant suivant, le corps qui tourne sur Oa amène le point h du corps sur le point (3 de l'espace, et ainsi de suite d'un instant à l'autre. Il suit de là que les deux courbes, et par conséquent les deux surfaces coniques, sont tangentes : car une rotation infiniment petite autourjde 01 ne fait décrire au point a qu'un espace infiniment petit du second ordre. Comme de plus les arcs la et la sont égaux, ainsi que les arcs ah et a(3, bc et (3y, etc., on voit que le mouvement du corps pourrait être produit par celui du cône mobile roulant, sans glisser, sur le cône fixe dont il s'agit.

Nous avons donc ce nouveau théorème :

Théorème de Poinsot. — De quelque manière qu'un corps se meuve en tournant autour d' un point fixe, ce mouvement ne peut être autre chose que celui d'un certain çdne, dont le sommet est en ce point y et qui roule actuellement y sans glisser, sur la sur/ace d'un autre cône fixe de même sommet.

Je veux dire que le cône mobile, considéré comme attaché au corps et l'entraînant avec lui, s'il vient à rouler sur l'autre cône qui est fixe dans l'espace absolu, fera prendre à ce corps le mouvement précis dont on le suppose animé; la ligne de contact des deux cônes est, à chaque instant, l'axe autour duquel le corps tourne dans cet instant, ou ce qu'on appelle l'axe instantané : d'où Ton voit comment cet axe est à la fois