CHAPITRE m. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE. IO

mobile dans le corps et dans Tespace absolu, décrivant dans l'espace la surface du cône fixe et dans Tintérieur du corps la surface du cône mobile dont on vient de parler (*).

Tel est, dit Poinsot, le plus haut point de clarté où Ton puisse porter l'idée si complexe et si obscure du mouvement d'un corps qui tourne d'une manière quelconque autour d'un centre fixe. Il n'y a point de mouvement de cette nature qu'on ne puisse exactement produire en faisant rouler un certain cône sur un autre cône fixe de même sommet; de sorte que, si l'on imagine tous les cônes possibles et qu'on les fasse ainsi rouler l'un sur l'autre, on a l'image fidèle de tous les mouvements dont un corps soit susceptible, autour d'un point sur lequel il a la liberté de pirouetter en tous sens.

Formules dii^erses relatives à la rotation autour d'un point.

Si les deux courbes {s) et (o-), qui servent de bases aux deux surfaces coniques dont il a été question, sont données,

(*) II n'est peut-être pas inutile d'insister sur l'idée nette qu'il faut attacher aux mots quand on dit « le mouvement de l'axe instantané », ou qu'on emploie quelque autre terme qui suppose la mobilité de cet axe, soit dans le corps, soit dans l'espace. Ce n'est ici qu'une manière de s'exprimer. L'axe instantané ne se m,eut point : car il e^ immobile de sa nature pendant un instant, et, au bout de cet instant, c'est une autre ligne qui devient à son tour l'axe de rotation. Mais, en se figurant l'ensemble de toutes ces lignes, menées d'avance, les unes dans le corps, les autres dans l'espace, et leur donnant le commun nom ô!axe instantané, on peut dire naturellement la surface décrite par cet axe, au lieu de dire la surface formée par la suite de toutes les lignes, dont chacune doit devenir à son tour l'axe de rotation. Et de même, au lieu de l'angle rfcp, compris entre deux génératrices consécutives de cette surface, on peut dire l'angle décrit pendant le temps dt

par l'axe instantané, et nommer ainsi le rapport —^ la vitesse angulaire

avec laquelle cet axe trace à la fois les deux surfaces coniques dont il s'a-

ds git. C'est dans le même sens qu'on nomme le rapport ;t-> ou le rapport

-^- qui lui est égal, la vitesse avec laquelle le pôle instantané I se meut le

long de l'une ou de l'autre des deux courbes {s) et (a), tracées l'une dans le corps et l'autre dans l'espace, quoique le point du corps qui fait en ce moment l'office du pôle instantané n'ait de sa nature aucune vitesse. En effet, ce point du corps, tant qu'il fait le pôle, est immobile; et, sitôt qu'il se meut, il n'est plus le pôle de la rotation.

ainsi que la vitesse angulaire w autour de Taxe instantané 01, il est évident que le mouvement du corps sera entièrement déterminé.

Si, la vitesse angulaire w étant toujours connue, une seule des deux courbes {s) et (o-) est donnée, avec la vitesse du pôle qui la décrit, l'autre courbe sera nécessairement déterminée.

Supposons, par exemple, que la courbe fixe (o-) soit donnée,

avec la vitesse -j- du pôle instantané I, le long de cette courbe.

Comme le corps tourne sur 01 avec une vitesse angulaire w, qui est aussi donnée, il est clair que le point du corps qui, au bout du temps dt, doit venir tomber sur la courbe donnée (cj) pour y être à son tour le pôle instantané, est un point déjà déterminé dans le corps; et il en est de même des autres points du corps que les rotations successives doivent amener l'un après l'autre sur la courbe fixe (o-), pour servir de pôles à leur tour; d'où l'on voit que l'autre courbe {s), qui marque la route du pôle dans l'intérieur du corps, est entièrement déterminée.

Et réciproquement, si, au lieu de la courbe fixe (cr), on se

ds donne la courbe mobile (s), avec la vitesse -j- et la vitesse de

rotation co, on verra de même que la courbe fixe (œ) se trouvera entièrement déterminée dans l'espace.

En général, dans l'élude du mouvement d'un corps autour d'un point fixe, il se présente naturellement plusieurs éléments à considérer, tels que la vitesse angulaire co autour de l'axe instantané 01; la vitesse angulaire 9 avec laquelle cet axe trace les deux surfaces coniques S et 1 qu'il décrit en même temps, l'une dans l'intérieur du corps, l'autre dans l'espace absolu; les rayons de courbure r et p de ces deux surfaces; les mouvements angulaires/? et tt du pôle, l'un autour de Taxe OP du cône osculateur de la surface mobile S, et l'autre autour de l'axe OII du cône osculateur de la surface fixe 1, etc. Et si, de ces différentes choses, trois quelconques sont connues, on peut dire que les autres le sont aussi et que le mouvement est entièrement déterminé.

Cherchons les relations qui existent entre ces quantités.

Par l'effet de la rotation instantanée autour de 01, le cône