CHAPITRE III. — MOUVEMENT D UN CORPS SOUDE

Comme on a

a=sin^, a = sin^,

les deux relations précédentes équivalent à cette suite de rapports égaux

/?:7r: co :: sin^: sinx: sin(x -h^),

ce qui montre que /? et tt sont les deux côtés d'un parallélogramme dont Cl) est la diagonale, c'est-à-dire que w est la résultante des deux longueurs p et tt, portées respectivement sur les axes OP et OH.

Si trois des quantités dont il vient d'être question sont constantes, toutes les autres le sont aussi, et le mouvement du corps est celui d'un cône droit à base circulaire, qui roule uniformément sur un cône fixe également droit et circulaire.

Application à la rotation diurne.

Soit 01 {fig. 8o) l'axe instantané, OII l'axe de l'écliptique. Prenons sur ce dernier axe une longueur Ott, représentant la vitesse angulaire tt du mouvement rétrograde (positif) des équinoxes, quantité qui est environ de o'', 186795 par jour. Portons de même sur Taxe 01, et dans un sens convenable, une longueur w représentant la rotation diurne. La construction du parallélogramme Ottw/? nous fait connaître l'axe OP du cône fixe par rapport à la Terre; et les points d'intersection de cette ligne avec la surface du globe sont ceux qu'il convient de désigner sous le nom de pôles terrestres.

Cela posé, on a, en prenant le jour sidéral pour unité de temps,

d'où l'on conclut

o", 186795 sin 28*27' 80''

suij:?

L'angle x, mesuré à la surface de la Terre, répondrait à peine à un arc de 0^,27, ce qui donne à peu près i"*, 684 de longueur à la petite circonférence que le pôle instantané de la rotation de la Terre décrit chaque jour à sa surface. Quant à la rotation

réelle et instantanée co, on voit aussi qu'elle diffère très peu de la rotation apparente/?, sur Taxe de figure ON.

§ IX. — Mouvement d'un solide parallèlement a un plan fixe.

Je passe à un cas particulier de la question précédente. L'importance de ce cas particulier réclame une étude spéciale ; mais les détails que nous venons de donner nous permettront d'abréger considérablement ce qu'il nous reste à dire.

Je veux parler du mouvement d'un solide invariable, parallèlement à un plan fixe. Dans ce mouvement, les distances de chacun des points du solide au plan fixe restant constantes, il suffit de connaître à chaque instant la position de la projection de ce corps sur le plan fixe. Cette projection conserve d'ailleurs une figure invariable; et le problème qui consiste à déterminer le mouvement de cette figure dans son plan est un cas particulier de la question précédente, où il s'agissait du mouvement d'une figure sphérique sur sa sphère.

Nous n'avons, en effet, qu'à supposer le rayon de la sphère infini, et tous les théorèmes qui ne dépendent pas de la grandeur de ce rayon s'appliqueront, convenablement modifiés, au problème actuel.

On a ainsi les résultats suivants :

Théorème I. — Quand une figure plane se déplace dans son plan sans changer de forme, il y a toujours à chaque instant un point de cette figure dont la vitesse est nulle et autour duquel la figure tout entière tourne pendant un espace de temps très court,

Ce point s'appelle centre instantané de rotation. Quand il est à l'infini, la rotation se change en une translation.

Ce beau théorème, cas particulier de celui de d'Alembert, a été découvert, quelque temps avant ce dernier, par Jean Bernoulli (*). La démonstration donnée par BernouUi a toute

(') Z>e centra spontaneo rotationis {Opéra, t. IV, p. 265; 1742).

La solution donnée par Descartes du problème de la tangente à la cycloïde {Lettres de Descartes, t. II de l'édition de 1724, p. Sg) repose sur un cas particulier du théorème de Bernoulli, et c'est dans cette solution merveil-