CHAPITRE III. — MOUVEMENT d'dN CORPS SOLIDE. II

la rigueur et toute la généralité désirables; mais elle a Tinconvénient d'être fondée sur des considérations de Dynamique, tandis que Texistence d'un point qui reste fixe dans le déplacement d'une figure plane sur son plan, ou d'une figure sphérique sur sa sphère, est une propriété purement géométrique.

Il est facile, en effet, de démontrer directement le théorème suivant, sans faire intervenir aucune considération de mouvement :

Théorème IL — Quand deux polygones égaux {ou en général deux figures égales quelconques) sont placés d*une manière quelconque dans un plan (*), il existe toujours un point du plan qui est également distant de deux sommets homologues quelconques des polygones; ce point est semblablement placé par rapport aux deux polygones.

Soient {fig, 8i ) ABCDE, A'B'C'D'E' deux polygones égaux.

Tous les points de la perpendiculaire, élevée au milieu de la corde AA', sont également distants des points A et A'. Le point 0, où cette perpendiculaire est coupée par la perpendiculaire élevée sur le milieu de BB', est également distant à la fois des points, A et A' d'une part, B et B' de l'autre. Je dis qu'on a de même

OC^OC, ODzzrOD',

En effet, les deux triangles ABO, A'B'O sont égaux, comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Il suit de là que le point 0, considéré comme appartenant à la première figure, est lui-même son homologue dans la seconde; par

leuse de simplicité, dit Chasles, que se trouve la première trace des propriétés d'une figure en mouvement.

Nous verrons plus tard que le mouvement épicycloïdal, étudié par Descartes, comprend comme cas particuliers tous les mouvements possibles d'une figure plane invariable dans son plan ; mais Descartes et BernouUi ignoraient Texistence de cette propriété.

(') Pour que le théorème soit vrai, il faut que les deux polygones représentent deux positions d'une môme figure dans son plan, c'est-à-dire qu'on doit pouvoir effectuer la superposition, sans être obligé de retourner l'une des figures.

BoUR. — Mécanique» I. 8

Il4 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

suite, il est également distant des points C et C, D et D' et de tous les autres couples homologues.

Nous appellerons indifféremment point central ou centre de rotation ce point autour duquel on peut faire tourner une des figures pour Tamener à coïncider avec Tautre.

L'énoncé du théorème II, qui s'applique à un déplacement fini ou infiniment petit, est emprunté à M. Chasles (*), qui a restitué au théorème de Bernoulli son véritable caractère, et qui a fondé sur ce théorème une méthode géométrique des tangentes, laquelle n'est autre chose que celle de Descartes généralisée.

La méthode de M. Chasles est basée sur cette observation que, si le déplacement qui nous occupe est infiniment petit, le point se trouve à la fois sur les normales à toutes les* trajectoires des divers points A, B, C,. . . de la figure. Il suit de là que ces normales se croisent toutes nécessairement en un point unique, et l'on a le théorème suivant :

Théorème III. — Quand une figure plane invariable est animée d'un mouvement quelconque dans son plan, les normales aux trajectoires des différents points de cette figure se coupent toutes en un même point (^).

De là résulte une méthode fort simple pour déterminer les normales ou les tangentes des courbes décrites dans le mouvement d'une figure de forme invariable.

Considérons, par exemple, une droite de longueur constante AB {fig. 82), dont les extrémités s'appuient sur deux droites fixes Oxy Oj, ou sur deux courbes quelconques (P) et (Q) ; et supposons qu'on demande la tangente au lieu décrit par le sommet d'un triangle invariable, construit sur la base AB.

Le point A décrit 0/ : donc le centre instantané est sur la perpendiculaire élevée au point A sur 0/. De même, la trajectoire de B étant la ligne 0^, le centre de rotation se trouve

C) Bulletin des Sciences mathématiques de Férussac, t. XIV, p. 822; j83o; et Correspondance mathématique de M. Queteletj t. VII, p. 353.

(') Ce point remplit, pour un déplacement infiniment petit de la figure, le rôle du point central dont il vient d'être question : c'est un centre instantané de rotation.