CHAPITRE m. — MOUVEMENT D*DN CORPS SOUDE. Il

sur la perpendiculaire élevée en B sur 0^ : donc le centre instantané est au point de rencontre C de ces perpendiculaires. Or la normale à la trajectoire du point M doit passer par le point ainsi déterminé; donc cette normale est CM.

(( Cette méthode, dit M. Chasles, diffère de celle de Roberval, qui repose aussi sur des considérations de mouvement : elle est en outre susceptible d'un bien plus grand nombre d'applications. Elle se prête même à la détermination des rayons de courbure des courbes (*).

» Mais on conçoit que cette méthode si facile sera aussi, comme celle de Roberval, bornée dans ses applications, puisqu'elle suppose que Ton connaîtra les conditions géométriques du mouvement d*une figure de forme invariable à laquelle appartient le point décrivant. »

Théorème IV. — Les normales aux différentes courbes qu^on peut considérer comme entraînées dans le mouvement de la figure mobile, élevées aux points de contact de ces courbes avec leurs enveloppes respectives, vont passer au centre instantané de rotation.

Ce théorème, qui se déduit du théorème d'EuIer sur les mouvements sphériques, est facile à démontrer directement.

Considérons une courbe (K) {fîg* 83), entraînée dans le mouvement d'une figure invariable (F).

Un point quelconque M décrit une trajectoire dont la normale est MC, C étant le centre instantané de rotation de F.

(* ) Propriétés relatives au déplacement fini quelconque, dans l'espace, d'une figure de forme invariable {Comptes rendus, t. LI et LU). Voir aussi Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, p. 548; 1887, et Journal de Mathématiques, t. X, p. 148 et 204.

Remarquons à cette occasion que la méthode de M. Mannheim, que nous avons exposée (p. 5i-6o), apprend à construire la normale à la trajectoire d'un point, considéré comme faisant partie d'un système susceptible de changer de forme en même temps que de position d'une manière quelconque. Cette méthode est donc plus générale que celle de M. Chasles.

Nous verrons, quand nous aurons terminé l'étude des propriétés du centre instantané, que ces propriétés sont de simples cas particuliers de celles qui ont été démontrées précédemment, et qui sont relatives à des figures déformables.

I l6 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

Quant au point A où la courbe proposée touche son enveloppe, il doit, en se transportant sur la position voisine de (K), rester en même temps sur la position première, puisque Tenveloppe est le lieu des intersections de deux positions successives de Tenveloppée. La direction du mouvement du point A doit donc être celle de la tangente AT de la courbe (K); donc cette tangente est perpendiculaire à la ligne AC.

Théorème V. — Les vitesses des dijjérents points de la figure sont entre elles comme les distances de ces points au centre instantané de rotation.

Cette propriété résulte de ce que le mouvement peut être regardé, pendant un temps très court, comme une rotation autour du centre instantané. Le quotient de la vitesse d'un point quelconque par sa distance au centre est la vitesse angulaire du mouvement instantané de rotation (*).

Les théorèmes III et V expriment d'ailleurs tout ce qu'un centre instantané a de commun avec un centre effectif de rotation : ce sont les propriétés qui se rapportent à un élément infiniment petit du temps. La distinction s'établit dès que l'on considère deux éléments consécutifs.

Soit MMi {fig. 85) la trajectoire d'un point d'une figure mobile : la normale au point M passe par le centre instantané de rotation C;, mais la normale au point Mi est dirigée vers un nouveau centre Ci, dont la distance au point C est du même ordre que l'arc MMi lui-même; donc le centre de courbure de cet arc est un point distinct de C et de Ci.

Les propriétés que nous venons d'exposer donnent lieu à un grand nombre d'applications; en voici un exemple :

(') Dans le cas général d'une figure qui se déforme {fig. 84), le rapport des vitesses de deux points M, M' de cette figure s'exprime par le rapport

MN

en considérant les points N, N', où les normales aux lieux (M) et (M') sont coupées par la normale à l'enveloppe de la droite MM'.

On voit ainsi le centre instantané se dédoubler^ pour ainsi dire, quand la longueur MM' est variable; et la distance des deux points résultant de ce dédoublement est proportionnelle à la variation de MM'. On sait, en efFet^ que cette variation de longueur est proportionnelle à la distance NN'.