CHAPITRE m. - MOUVEMENT D'uN CORPS SOLIDE. IIQ

çerse des deux segments déterminés sur la ligne des centres par le prolongement de la partie rectiligne de la courroie.

Mouvement épicycloïdal plan.

Ainsi que je Tai dit, le point de départ des recherches relatives aux propriétés du mouvement d'une figure plane est le théorème suivant, dû à Descartes :

Théorème VI. — Lorsqu*une courbe mobile roule sans glisser sur une courbe fixe^ le centre instantané de rotation de toute figure invariablement liée à la courbe mobile est à chaque instant le point de contact actuel des deux courbes.

Soit (m) ifig. 88) une courbe qui roule sur une courbe (/). Si M et Ml sont deux points de contact successifs des deux courbes, et que M' soit le point de la courbe mobile qui se trouvait d'abord en M, on a

MMi=:M'Mi.

Il résulte de là que MM' est un infiniment petit du deuxième ordre; donc le point M est animé, à l'instant considéré, d'une vitesse nulle, ce qui est le caractère d'un centre instantané de rotation.

Dès lors, en raisonnant comme dans le paragraphe précédent et considérant dans un mouvement quelconque d'une figure plane invariable le lieu décrit par le centre instantané dans l'espace absolu, et le lieu correspondant décrit par le même point sur le pJan de la figure mobile {fig. 89), nous arriverons, par une image analogue à celle qu'a donnée Poinsot pour les mouvements sphériques, à nous représenter clairement le mouvement fini le plus général d'une figure plane dans son plan :

Théorème VII. — Quel que soit le mouvement d^une figure invariable dans son plan^ on peut toujours le ramener à un mouvement épicycloïdal.

En d'autres termes, on pourrait produire le même mouvement en supposant que les points qu'on étudie soient entraînés par une certaine courbe mobile, roulant sans glisser sur une courbe {\\q convenablement choisie.

La courbe mobile est la courbe roulante ou la roulette^ d'après une dénomination anciennement usitée. La courbe ïxiiQ s'appelle la base de la roulette.

Propriétés des épicycloïdes. — Le cas de mouvement épicycloïdai le plus intéressant à étudier est celui dans lequel la courbe mobile et la courbe fixe sont deux circonférences de cercle. En effet, non seulement les courbes ainsi engendrées ont un grand nombre d'applications industrielles ; mais de plus il est évident que, pour toutes les questions qui se rapportent au deuxième ordre infinitésimal, on a le droit, dans un mouvement épicycloïdal quelconque, de remplacer la roulette et sa base par leurs cercles osculateurs respectifs.

On distingue les épicycloïdes extérieures et les épicycloïdes intérieures ou hypocycloïdes. Elles sont allongées ou raccourcies^ selon que le point décrivant est à l'extérieur ou à l'intérieur du cercle mobile. On appelle plus particulièrement épicycloïdes (*) celles qui sont décrites par un point de la circonférence roulante.

On a représenté {fig. 91) quelques épicycloïdes et bypocycloïdes. On voit que, dans celles qui sont allongées, les points de rebroussement sont remplacés par des boucles ; ces mêmes points sont représentés par de simples sinus dans les épicycloïdes raccourcies.

( ' ) Ces dernières possèdent une propriété géométrique remarquable : celle de pouvoir être engendrées de deux manières différentes par le roulement d'un cercle mobile sur un même cercle fixe.

Considérons, par exemple, une épicycloïde extérieure (yî^. 90) : soient C le centre du cercle fixe, C, le centre du cercle mobile, R et R^ les rayons de ces cercles, enfin M une position du point décrivant.

La normale MA rencontre le cercle fixe en un deuxième point A'. Si l'on décrit une circonférence passant par le point M et tangente en A' à la circonférence fixe, et qu'on fasse rouler la circonférence ainsi déterminée sur la base primitive (C), le point M, considéré comme fixé à la nouvelle roulette, décrira une épicycloïde identique à la proposée. ( Voir Duhamel, Éléments de Calcul infinitésimal, 2* édit., t. I, p. 188).

Le rayon de la nouvelle roulette est donné par la relation

r; = R -+- R,, qui devient, dans le cas d'une épicycloïde intérieure,

Rj = R — R^.