CHAPITRE III. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE
Ligne droite et ellipse considérées comme hypocycloïdes. — L'hypocycloïde la plus curieuse est celle qui est engendrée par un point d*une circonférence, roulant dans l'intérieur d'une circonférence de rayon double. On sait que chacun des points de la circonférence mobile décrit un diamètre du cercle ^xyl^ (Cardan) : il suit de là qu'une corde quelconque, AB, de la roulette peut être considérée comme une droite dont les extrémités parcourent des droites fixes.
Si Ton se donne la droite AB {fig> 92), ainsi que les directrices du mouvement de cette droite, 0^, 0/, on déterminera, comme nous l'avons vu, le centre instantané C; OC est le diamètre du cercle mobile et le rayon du cercle fixe, qu'il faut choisir pour ramener à un mouvement épicycloïdal le mouvement d'une droite dont les extrémités parcourent des droites fixes.
Un point M de la droite AB décrit une ellipse dont on connaît immédiatement la normale MC, et dont on obtient le centre de courbure au moyen de la construction de Savary.
Les directions des axes de cette ellipse se construisent en joignant le point M au centre I du cercle mobile : en effet, le point M est sur la droite de longueur constante a6, mobile sur les droites rectangulaires OX, OY; Ma et M 6 sont les longueurs des deux demi-axes ; OM et MG sont les longueurs de deux demi-diamètres conjugués, le dernier étant dirigé suivant ON, perpendiculaire à la normale MC (^).
Si l'on faisait rouler la grande circonférence sur la petite, les diamètres de la première pivoteraient chacun autour d'un point fixe de la seconde. Ce théorème est le corrélatif du théorème de Cardan.
Rayon de courbure d'une courbe épicycloïdale plane. — Soit M le point décrivant {fig. gS). Prenons sur la courbe fixe et sur la courbe mobile, à partir du point de contact A, deux arcs infiniment petits égaux, AB, AB^; et soit M' la position qu'aura prise M, lorsque Bi sera venu en B. La normale en M' se construit en joignant le point M' au point B ou B^ :
(*) M. Mannheim a déduit de cette figure un procédé pour construire les axes d'une ellipse, quand on connaît un système de diamètres conjugués {Nouvelles Annales de Mathématiques, t. XVI, p. 187).
r22 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.
celte ligne vient couper la normale MA au centre de courbure
cherché X.
Faisons
MM' ^ds, AB=:ABt=z^ff,
AC=::R, ACi:=Ri, MA = T, MX = p.
La rotation de la figure mobile autour du centre instantané A, pour le déplacement AB du point de contact, est égale à la somme des angles de contingence respectifs des deux cercles : elle a pour expression
ce qui donne, pour la valeur de Tare MM',
D'un autre côté, si l'on désigne par i Tangle que fait AM avec la ligne des centres, on a, djms les triangles infiniment petits XMM', XABi,
ds : d(j cos i::p',p — /• ;
d*où enfin, en égalant les deux valeurs de ds ,
p cos i / I I
ou
On déduit de ces équations la construction de Savary, que nous connaissons (^) {voir p, 54).
(') Développée de l'épicycloïde ordinaire. — Pour exprimer que le point décrivant est sur la circonférence (CJ, il faudra faire dans la relation (t)
cosi
d'où
Décrivons un cercle qui passe par le point X (Jig. 94) et qui soit tan-
