CHAPITRE III. — MOUVEMENT D'uN CORPS SOLIDE

Centre de courbure de V enveloppe d'une figure mobile, — Considérons maintenant, au lieu d'un point unique, une courbe {e) entraînée dans le mouvement de la roulette {m) sur la base (/) {fig. 96). Nous savons que le point M, où la courbe {e) touche son enveloppe, est sur la normale qui passe au centre instantané A.

Pour trouver le rayon de courbure de Tenveloppe (E), je remarque qu'une série de courbes parallèles (e), (e,), (^2) enveloppent évidemment des courbes parallèles, la distance normale des enveloppes étant constante et égale à la distance des enveloppées correspondantes.

Il résulte de là que les centres de courbure de toutes les enveloppes sont en un même point X, lequel est aussi le centre de courbure de la trajectoire du point Y, centre de courbure commun à toutes les enveloppées. On trouvera donc le point X en appliquant la construction de Savary au point Y. De là le théorème suivant :

Théorème VIII. — Quand une figure entraînée dans le roulement d'une courbe mobile sur une courbe fixe reste constamment tangente à une certaine enveloppe, les lignes qui joignent les centres de courbure respectifs des deux courbes mobiles d'une part, et des deux courbes fixes de Vautre, se coupent en un point de la perpendiculaire élevée au centre instantané de rotation, sur la normale commune à la courbe donnée et à son enveloppe,

La question précédente, qui nous sera utile dans la théorie

gent ea A aux deux précédents. Soit Rj le rayon de ce cercle : on a

Si Pon désigne de même par R' la longueur CA' ou R — 2 R'i , on trouve

d'où

On trouvera aisément que le lieu géométrique du point X est une épicycloYde semblable à l'épicycloïde (M), mais non semblablement placée. l<e rapport de similitude est égal au rapport du rayon du cercle fixe à ce même rayon augmenté du diamètre du cercle mobile.

des engrenages, a été résolue pour la première fois par Euler (M.

Faisons

la formule (i) devient

/• — a cos i

On voit que p dépend seulement des quantités r et a ces/;

si Ton prend {/Ig. qS)

AI = a cos i,

le rayon de courbure MX est une troisième proportionnelle aux lignes MI et MA.

La formule (3) ne change pas quand on fait varier les rayons R et R,, sans altérer a : on peut donc prendre

c'est-à-dire remplacer le mouvement épicycloïdal par un mouvement cycloïdal, tant qu'il s'agit seulement de déterminer les centres de courbure des trajectoires des points d'une figure invariable, ou des enveloppes des courbes liées à cette figure. Le cercle de rayon a a reçu de M. Transon le nom de cercle de roulement (^).

Centre instantané du second ordre.

Quand on connaît le centre A, {fig- gS) du cercle de roulement, on trouve le point X en prolongeant la ligne MAi jusqu'à son intersection avec la perpendiculaire AP, et menant par le point P une parallèle à AAj. C'est la construction de Savary, appliquée au cas où le point C est à l'infini.

Il suit de là qu'il suffit de connaître le point Ai, pour être en état de résoudre toutes les questions géométriques qui se rapportent au deuxième ordre différentiel, de même que le point A nous donne la solution des questions relatives au premier ordre.

( ' ) Nouveaux Commentaires de Saint-Pétersbourg pour l'j^jX^Wi^» 209* (') Transon, Méthode géom,étrique pour les rayons de courbure {Journal de Mathématiques, t. X, p. i54; i845).