CHAPITRE III. — MOUVEMENT d'dN CORPS SOLIDE

Il convient donc de donner au point Ai le nom de centre instantané du deuxième ordre (*). Il existe des points doués de propriétés analogues pour le troisième, le quatrième ordre, etc.; c'est-à-dire qu'il suffît pour chaque ordre de connaître un point unique, pour résoudre toutes les questions de Tordre correspondant, auxquelles donne lieu le déplace ment infiniment petit d'une figure plane dans son plan (-).

Circonférence des inflexions, — Bornons-nous aux éléments du second ordre, et soient A et A^ les deux centres instantanés {fig* 97).

Décrivons une circonférence dont le diamètre soit le rayon AAj du cercle de roulement : le centre de courbure de la trajectoire d'un point quelconque de la circonférence AAj, dans le mouvement qui nous occupe, est à l'infini (^); donc :

Théorème IX. — La circonférence décrite sur la ligne qui joint les deux centres instantanés comme diamètre est le lieu géométrique des points qui décrivent des éléments de lignes droites à l'instant considéré.

Toutes ces droites passent au centre instantané du deuxième ordre.

Circonférence des centres, — La construction que nous venons de donner fait trouver le point décrivant M, quand on connaît le centre de courbure correspondant. Ce point M passe à l'infini quand le centre X' est situé sur la circonférence symétrique de la précédente ; donc :

Théorème X. — La circonférence symétrique de la circonférence des inflexions est le lieu des centres de courbure des

(') Je ne puis adopter le nom de centre des accélérations proposé par M. Bresse dans un Mémoire inséré au XXXV* cahier du /oMr/ia/^ de l'École Polytechnique, p. 89. Le centre instantané des accélérations (dont je ne m'occupe pas ici) ne coïncide généralement pas avec le point A,. On trouvera tous les détails relatifs à la théorie qui fait l'objet de ce paragraphe dans le Traité de Cinématique pure de M. Resal, p. 176.

(^) Traité de Cinématique pure y p. 3ii.

La théorie des centres instantanés des divers ordres a été faile par la méthode la plus simple et la plus directe par M. Nicolaïdès ( Théorie du mouvement d'une figure plane dans son plan, i863).

(') Mannheim^ Construction des centres de courbure, etc. {Journal de V École Polytechnique^ XXXVIl* cahier, p. 179).

120 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PCRE.

trajectoires décrites par les points du plan situés à V infini, ow, si Von veut, des enveloppes de toutes les droites, mobiles a^fec la figure considérée.

Les deux cercles que nous venons de définir servent à construire les centres de courbure des trajectoires des divers points d'une figure invariable.

Il est rare, en effet, qu'on puisse trouver ces centres par la construction de Savary, à moins que la roulette et sa base ne soient des dannées immédiates de la question. Dans le cas contraire, il faudrait commencer par construire les courbures de ces deux lignes; or ces quantités sont des éléments du troisième ordre (*), plus difficiles à déterminer que les rayons de courbure des trajectoires des points de la figure mobile.

Considérons un point M et le centre de courbure correspondant X : le point I {fig. g^), déterminé par la relation

MA = MI X MX,

est un point de la circonférence des inflexions, laquelle passe aussi par le centre instantané A. Si donc on connaît les centres de courbure des trajectoires de deux points, on pourra construire cette circonférence, et,par suite, on saura trouver le centre de courbure de la trajectoire d'un point quelconque, formant un triangle invariable avec les deux premiers.

Considérons seulement le cas où les deux points directeurs décrivent des lignes droites.

Problème. — La base d'un triangle invariable se meut entre deux droites fixes {fig* 98). On demande le centre de courbure de la trajectoire du sommet de ce triangle^ c'est-à-dire d'un point quelconque lié à la base mobile.

Solution. — Les points E et F, décrivant des lignes droites, sont situés sur le cercle d'inflexion, lequel passe aussi, d'après une remarque que nous avons faite, au point d'intersection Ai des droites (E), (F).

(' ) Il est à remarquer que les termes du troisième ordre disparaissent dans la somme -5 ~^~ ïT» puisqu'on a