CHAPITRE III. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE

veloppe donnée, ne suffit pas pour déterminer la série des positions de cette figure : en ayant égard à la loi qui règle les déplacements simultanés du point de contact sur les deux courbes, on distingue les trois genres de mouvement que voici :

1^ Si les arcs infiniment petits, parcourus par le point de contact sur les deux courbes, ont même longueur, on dit qu'il y a roulement;

2° Si cet arc est nul pour l'une des deux courbes, le mouvement est un glissement simple;

3<» Enfin, dans tous les autres cas, on a afïaire à un mouvement mixte, qui tient à la fois du roulement et du glissement.

Soient (/ig- loo) (e) la courbe mobile, (E) la courbe fixe, m le point actuel de contact, mi, m^ les points qui doivent arriver en coïncidence, par TefTet d'un mouvement infiniment petit.

Ce mouvement infiniment petit, dans le cas le plus général, peut être considéré comme composé d'un roulement et d'un glissement. On peut en effet, pour amener la courbe (e) de sa première à sa seconde position, faire d'abord rouler cette courbe sur son enveloppe jusqu'à ce que le point m^ soit arrivé en un point fx, tel que m^L^i^mm^y et la faire ensuite glisser jusqu'en m^.

La longueur /x/Wj mesure V étendue du glissement élémentairey étendue qui est aussi égale à m^m^y ou à mm\ puisque les distances des points m^ et m' à la courbe (E) sont infiniment petites du second ordre. Donc :

Théorème I. — U étendue du glissement élémentaire est égale à la distance qui sépare, au bout du temps dty les deux points qui se trouvaient réunis au commencement de ce temps dt.

Ce théorème s'applique sans modification, quand on restitue à la courbe supposée fixe le mouvement dont elle est animée en réalité, puisque la grandeur de Tare de glissement dépend uniquement du mouvement relatif des deux courbes.

En divisant l'arc m.m! par dt, on a la vitesse de glissement, La direction de cette vitesse est celle de la ligne [im^, ou mm' : c'est-à-dire, à la limite, celle de la tangente commune mT.

BouR. — Mécanique. T. 9

l3o PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

Construction du centre instantané de rotation, — Le mouvement élémentaire, que nous venons de décomposer en un roulement et un glissement (c'esl-à-dire en une rotation autour du point m et une translation dans la direction mT), revient aussi, comme on sait, à une simple rotation autour d'un centre instantané A {fig» loi), situé quelque part sur la normale commune NN' (*). Le point A est facile à déterminer quand on connaît les centres de courbure de la courbe {e) et de son enveloppe, ainsi que le rapport des arcs mm^, mm^. C*est la limite vers laquelle tend le point y, intersection des deux normales G^^u Gr^z O- L*angle de rotation dc^ est la somme des angles de contingence des deux courbes :

d<p ^=:dT -h dzi .

Calcul de l'arc de glissement, — La figure montre que Tare Wim, a pour expression

ridz -h dTi) ^= r d(^,

(*) Considérons une came, dont le profil soit la courbe quelconque (e). Il résulte du beau théorème relatif au mouvement épicycloïdal que nous pourrons toujours faire prendre à cette came le mouvement précis dont nous avons besoin qu'elle soit animée, en attachant la courbe (e) à une figure (m ) convenablement choisie, et assujettie à rouler sans glisser sur une courbe fixe (/).

Ceci est important au point de vue des applications. En effet, le glissement donne lieu dans les machines à une résistance dite frottement, aussi nuisible sous le rapport de l'économie du travail que sous celui de la précision du jeu de la machine; le roulement, au contraire, n'occasionne qu'une résistance négligeable par rapport à la première : ce que nous venons de voir nous apprend à produire un mouvement plan quelconque, sans faire intervenir le glissement.

D'autres fois, au contraire, il y aura un intérêt majeur à passer par-dessus les inconvénients du frottement, et à substituer au roulement un mouvement mixte : la théorie actuelle nous guidera également dans le tracé des courbes qui, par leur action mutuelle, produiront d'une autre manière le mouvement qu'on se propose d'obtenir.

(') Il est à remarquer que les données dont nous nous sommes servi ne déterminent pas la tangente au lieu décrit par le point A. Cette tangente est un élément du deuxième ordre, qui se construit quand on connaît les rayons de courbure des trajectoires de deux points de la figure mobile : points non en ligne droite avec le point A.

En effet, chaque rayon de courbure fait connaître la projection du centre du deuxième ordre sur la normale correspondante (p. 126); deux projections déterminent ce centre A,, et la ligne AA^ est la normale demandée.