CHAPITRE m. — MOUTEMENT d'uN CORPS SOLIDE. l3l

/• étant la distance du centre instantané au point /n (*). L'un des deux angles dzi, dr est nul, si le mouvement est un glissement simple, mais ces deux angles ne sauraient s'évanouir tous les deux à la fois; donc le glissement ne peut être nul que quand on a r == o :

Théorème IL — Pour que le glissement soit nul dans le mouvement de deux courbes assujetties à rester en contact, il faut et il suffit que le point de contact des deux courbes coïncide avec le centre instantané de la rotation relative.

Le roulement est au contraire nul, et le mouvement est un glissement simple, dans deux cas distincts : selon que le point de contact est invariable sur la courbe mobile ou sur la courbe fixe. On peut remarquer les propriétés suivantes :

Théorème IIL — Quand une courbe glisse sur une courbe fixe qu^elle touche toujours par le même points la normale en ce point roule sur la développée de la courbe fixe.

Théorème IV. — Quand une courbe se meut en touchant constamment une courbe fixe au même point y la développée de la courbe mobile roule sur la normale fixe du point de contact.

Mouvement relatif de deux surfaces quelconques en contact

par un point.

Le mouvement d'une surface quelconque par rapport à une autre surface à laquelle elle reste constamment tangente (c'est-à-dire par rapport à trois axes invariablement liés à celle-ci) peut s'effectuer de bien des manières différentes.

En nous bornant pour le moment à considérer les cas où le contact a lieu en un point seulement, c'est-à-dire où les surfaces n'ont de commun qu'un élément du second ordre, nous aurons à distinguer trois genres de mouvements simples :

i*» On dit, à proprement parler, qu'une surface glisse sur

(') L'expression rrfcp est remarquable, en ce qu'elle ne contient pas explicitement les courbures des deux figures en contact, mais seulement l'angle qui mesure .la rotation instantanée relative.

l32 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

une surface fixe, quand son mouvement est une translation parallèle au plan tangent commun : c'est le mouvement d'un traîneau sur un plan incliné. Poinsot avait proposé, pour désigner cette sorte de mouvement, le mot de rasioriy qui n'a pas été adopté.

2<» Une surface pivote sur une autre surface, quand elle tourne autour d'un axe perpendiculaire à l'élément commun : c'est le mouvement d'un pivot dans sa crapaudine. Comme on doit toujours considérer dans le contact de deux surfaces, non pas un simple point commun, mais bien un élément superficiel commun, on voit que, dans le genre de mouvement que nous étudions, il y a en définitive glissement de l'élément mobile sur l'élément fixe; et, bien que les points dont il s'agit soient à une distance infiniment petite du centre de rotation, l'arc de glissement pourra avoir une valeur quelconque, selon la grandeur du déplacement angulaire relatif.

3« Enfin la surface mobile roule sur la surface fixe, quand son mouvement instantané est une rotation autour d'un axe situé dans le plan de contact, c'est-à-dire autour d'un des côtés de l'élément commun (*). De la sorte, l'élément suivant .vient, en tournant autour de ce côté, s'appliquer exactement sur un élément égal, et ainsi de suite. La série des éléments, qui se sont trouvés successivement en contact, forme sur la surface fixe et sur la surface mobile deux zones qui, par l'effet du roulement, se développent l'une sur l'autre, et sont susceptibles de se recouvrir sans déchirure ni duplicature.

C'est ce qui se passe quand une sphère ou une zone cylindrique roule en ligne droite sur un plan; une jante conique, au contraire, ne peut avoir sur un plan un mouvement recliligne, ou une jante cylindrique un mouvement circulaire, sans que le roulement soit compliqué de pivotement (^).

(*) On confond assez souvent le roulement avec certains mouvements compliqués de pivotement (et par conséquent de glissement, si Ton tient à conserver aux mots leur signification précise). C'est ainsi que M. Delaunay, dans l'énoncé d'un célèbre théorème de Poinsot {Mécanique rationnelle, p. 491 ; i856), se sert, à tort suivant moi, du mot de roulement pour désigner un mouvement qui se réduit, dans un cas, au pivotement simple d'une sphère sur un de ses plans tangents.

(') On utilise cette propriété dans la construction des meules à broker.