CHAPITRE III. — MOUVEMENT d'UN CORPS SOLIDE. l

En résumé, Jes trois cas que nous avons définis répondent :

i^ A une translation (laquelle ne peut évidemment avoir lieu que parallèlement à une ligne tracée dans le plan tangent);

20 A une rotation perpendiculaire au plan tangent commun;

30 A une rotation contenue dans ce plan.

Nous verrons dans le Chapitre suivant qu'un mouvement quelconque est susceptible de se résoudre en ces trois éléments simples.

§ XI. — Mouvement le plus général d'un corps solide.

Nous avons démontré avec Euler que, relativement à des axes de direction invariable, assujettis à se croiser constamment en un point déterminé d'un solide en mouvement, le mouvement de ce solide, à un instant quelconque, est une rotation autour d'une droite dite aooe instantané, fixe pendant un temps infiniment court.

Le mouvement le plus général d'un corps solide, pendant un temps infiniment petit, peut donc être considéré comme composé de cette rotation et du mouvement des trois axes, lequel est une translation dont la vitesse est égale à celle du point pris pour origine. Gomme ce point a été choisi arbitrairement, on voit qu'il y a une infinité de manières de décomposer un mouvement donné en une translation et une rotation.

Théorème de Giulio MozzL

Parmi ces divers systèmes de décomposition, il en existe toujours un, plus simple que tous les autres, dans lequel la translation s'effectue parallèlement à l'axe de la rotation (*). Le

(') Il résulte d'une Note de M. Chasles que ce beau théorème se trouve mentionné pour la première fois dans un ouvrage d'un géomètre florentin parfaitement inconnu, Giulio Mozzi, ouvrage intitulé : Discorso materna^ tico sopra il rotamento momentaneo dei corpi; Naples, 1763.

« L'auteur, dit M. Chasles, après avoir démontré que tout corps en mouvement possède à chaque instant un mouvement de rotation autour d'un axe qui passe par le centre de gravité, et un mouvement rectiligne commun à toutes ses parties, ce qui était connu de d'Alembert et d'Euler, ajoute que ces deux mouvements se réduisent à deux autres, dont l'un, rectiligne, est

l34 PREMIÈRE SECTION. — GINÉSIiLTIQUE PURE.

mouvement qui résulte d'une pareille combinaison est analogue à celui d'une vis qui se meut en pénétrant à l'intérieur d'un écrou fixe.

Pour démontrer ce théorème, et donner en même temps un moyen de construire l'axe de la vis dont il s'agit, considérons dans notre solide trois points quelconques non en ligne droite, formant un système invariable.

Soient A, B, G les trois points choisis : menons par un point arbitraire {fig- 102) des droites Oa, 06, Oc, respectivement égales et parallèles aux vitesses des points A, B, C; abaissons du point une perpendiculaire sur le plan du triangle abc, et joignons le pied P de cette perpendiculaire aux trois sommets de ce triangle. On peut regarder la vitesse Oa comme la résultante de deux vitesses représentées en grandeur et en direction par les droites OP, Pa; on peut de même remplacer Oh par OP et P6, Oc par OP et Pc.

commun à toutes les parties du corps et parallèle à l'axe de rotation qui passe par le centre de gravité, et l'autre est une rotation autour d'un axe parallèle à celui-là : axe dont il détermine la position et qu'il appelle axe spontané de rotation. ,

» M. Cauchy a aussi considéré le mouvement infiniment petit d'une figure de forme invariable sur le plan et dans l'espace, dans un Mémoire intitulé : Sur les mouvements que peut prendre un système invariable, libre, ou assujetti à certaines conditions (Exercices de Mathématiques^ t. II, année 1827, p. 70-90). C'est du principe des vitesses virtuelles qu'il conclut le centre instantané de rotation d'une figure plane qui glisse sur son plan, puis, après d'assez longs calculs, le théorème sur l'axe instantané de rotation d'un corps qui éprouve un déplacement infiniment petit dans l'espace; théorème qu'il énonce en ces termes :

» Quelle que soit la nature du mouvement d'un corps solide, les relations existantes entre les différents points seront toujours celles qui auraient lieu si le corps était retenu de manière à pouvoir seulement tourner autour d'un axe fixe, et glisser le long de cet axe.

» M. Cauchy s'arrête à ce résultat final, sans chercher aucune des propriétés qui peuvent se rapporter à cette belle question »

Parmi les propriétés du mouvement hélicoïdal, nous citerons seulement les suivantes, qui sont susceptibles de nombreuses applications géométriques.

Les plans normaux aux trajectoires des divers points d'un plan mobile passent tous par un m^ême point du plan.

Ce point, ou foyer, a sa trajectoire normale au plan.

La caractéristique du plan, c'est-à-dire l'intersection de ce plan avec sa position infiniment voisine) est le lieu des points dont les trajectoires sont contenues dans le plan lui-même; elle est parallèle à la projection de