CHAPITRE III. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE. l

Cela posé, concevons des axes animés d'un mouvement de translation dont la vitesse soit égale et parallèle à OP. Relativement à ce système d'axes, les vitesses Va, Vb, Pc des trois points A, B, C sont parallèles au plan abc; donc le mouvement relatif du triangle ABC, et par suite celui du solide lui-même, est une rotation autour d'un axe instantané : axe qu'on détermine par les règles relatives au mouvement d'un corps parallèlement à un plan. Cet axe est parallèle à OP, c'està-dire à la direction de la translation.

Tous les points de la ligne que nous venons d'apprendre à construire n'ont d'autre mouvement qu'une simple translation le long de l'axe lui-même; c'est-à-dire que cette droite, après un mouvement infiniment petit du solide, se retrouve dans la même position géométrique. Elle n'est pourtant pas restée immobile, mais elle n'a fait que glisser sur elle-même : nous lui donnerons le nom d^aœe instantané de rotation glissant. On l'appelle également axe central (*).

Vaxe de Vhélicoïde sur le plan, et perpendiculaire à la ligne qui joint le foyer à la trace de l'axe sur ce même plan.

Soient h le pas de l'hélicoïde ( ce pas est négatif pour un hélicoïde dextrorsum, d'après nos conventions sur la manière de fixer le signe d'une rotation), 6 l'angle de la normale au plan avec l'axe, a tt b les distances respectives du foyer et de la caractéristique à la projection de cet axe sur le plan; on a

a = — - — tang9, 6 = — cot6.

Le produit de ces deux distances est indépendant de l'inclinaison du plan.

Le foyer d'un plan parallèle à l'axe est à Vinfini, Il suit de là que les vitesses de tous les points d'un pareil plan sont parallèles à un autre plan, lequel est perpendiculaire au premier.

Réciproquement : si les vitesses des divers points d'un plan P sont parallèles à un même plan perpendiculaire à P, l'axe central est parallèle au plan P, et même à la caractéristique de ce plan.

Voici une conséquence curieuse de ces théorèmes. Considérons dans un solide en mouvement une figure quelconque, tracée dans un plan parallèle à l'axe instantané glissant : les vitesses de tous les points de cette figure seront parallèles à un même plan, sans que le mouvement de la figure soit réductible à une rotation perpendiculaire à ce plan. (Consulter diverses communications de M. Chasles à l'Académie des Sciences, t. XVI, LI, LU des Comptes rendus, )

(') Il existe une droite douée de propriétés analogues, pour. un déplace-

l36 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

La démonstration élémentaire par laquelle nous venons d'établir Texistence de Taxe central, ainsi que la construction de cet axe qui s'en déduit, est due au général Poncelet.

La construction suivante, que j'emprunte à M. Chasles, est un peu moins simple, mais elle offre une analogie complète avec la construction du centre instantané de rotation d'une figure mobile dans un plan : en ce sens qu'elle exige seulement qu'on connaisse les directions de trois vitesses AA', BB^, CC.

Soit X l'intersection commune des plans normaux aux trajectoires des points A et B; la droite sur laquelle se mesure la plus courte distance des droites X et AB rencontre Taxe central et lui est perpendiculaire.

Les deux points A et C donnent lieu de même à une autre droite qui rencontre l'axe instantané et lui est perpendiculaire. Ces deux droites déterminent l'axe cherché, qui n'est autre que la droite sur laquelle se mesure leur plus courte distance.

Scolie. — Si les points a, b, c sont en ligne droite, notre première construction est en défaut, car le plan abc n'est pas déterminé.

Il faudra donc, pour appliquer cette construction, prendre trois points A, B, G, dont les vitesses ne soient pas parallèles à un même plan (*).

Remarques sur le mouvement infiniment petit

d'un corps solide.

I. Trois droites données quelconques Oa, 0^, Oc ne peuvent généralement pas être considérées comme les vitesses

ment fini quelconque d'un solide invariable; et Ton peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Si Von considère un même corps solide dans deux positions différentes quelconques j il y a toujours dans ce solide une droite dont la position n'a pas changé, de sorte qu'on peut concevoir que le solide passe d'un lieu à l'autre par un mouvement hélicoïdal autour de cette droite comme axe, ( Chasles. )

Cette droite s'appelle Vaxe central des deux positions du solide, quelle que soit la grandeur du déplacement considéré.

(*) Quand il n'est pas possible de satisfaire à cette condition, c'est-à-dire quand les vitesses de tous les points du solide sont parallèles à un m,éme plan, on sait que le mouvement se réduit à une rotation autour d'un axe perpendiculaire à ce plan.