CHAPITRE m. — MOUVEMENT d'cN CORPS SOLIDE

respondant à celte génératrice, soit le même pour les deux surfaces : on sait que ce paramètre, que je désignerai par la lettre |3, est le rapport de la plus courte dislance de deux génératrices consécutives à l'angle inOniment petit formé par ces génératrices.

Le plan tangent en un point situé à une distance ^ du point central est déterminé par son inclinaison 9 sur le plan central. Or on a la formule

tangOi^^;

de sorte que, quand on a fait coïncider les points centraux de deux génératrices appartenant à des surfaces différentes, ainsi quelesplans tangents correspondants, ou plans centraux: , ions les autres plans tangents des deux surfaces coïncident également, si les paramètres sont égaux.

Considérons deux surfaces, ainsi raccordées suivant la génératrice G (y?^. io3). Les deux génératrices suivantes, G 1,^1, se confondent, à un infiniment petit du second ordre près; et, si les paramètres de ces deux génératrices sont encore égaux, on amènera les deux surfaces à se raccorder suivant ces nouvelles génératrices, au moyen :

i*' D'un glissement CiC,, égal à la distance qui sépare les deux nouveaux points centraux;

2* D'une rotation représentée par l'angle des plans cen, traux correspondants.

Le mouvement sera susceptible de se continuer indéfiniment ainsi : les paramètres étant supposés égaux pour toutes les génératrices qui viennent s'appliquer successivement l'une sur l'autre.

Le glissement est nul quand les lignes de striction des deux surfaces coupent les génératrices correspondantes sous dos angles égaux. Il suffit alors d'une rotation autour de la génératrice commune pour transporter le raccordement sur la génératrice suivante : ce qui revient à dire que les deux surfaces sont susceptibles d'être appliquées, ou développées Vune sur Vautre, sans déchirure ni duplicature, absolument comme les cylindres ou les cônes sont développables sur le plan.

Supposons en effet que, pendant que la surface mobile

tourne autour de g^, pour amener g^ sur Gj, l'élément (G, ^i) reste appliqué sur celui qu'il recouvre actuellement, et ainsi de suite. Par cette opération qui peut se faire sans déchirer la surface, simplement au moyen de plis effectués le long de ses génératrices, on l'appliquera exactement sur l'autre surface gauche, tout comme on développe sur un de leurs plans tangents les surfaces communément appelées développables*

Application à Vhyperboloïde de révolution, — Dans cette surface, le cercle de gorge est la ligne de striction. Pour trouver le paramètre (3, lequel est évidemment constant, considérons deux génératrices infiniment voisines quelconques \fig> io4). Appelons «l'angle de ces génératrices avec Taxe, ou, ce qui est la même chose, l'angle de la ligne de striction avec la plus courte distance AP des génératrices : on a, pour la longueur de cette plus courte distance,

AP = AB cos i = R<ia cos i,

en appelant R le rayon du cercle de gorge.

D'un autre côté, si l'on considère le cône directeur de la surface, on voit que l'angle de deux génératrices voisines est égal à da sin;; donc enfin,

^ R <f a cos i ^ pr= —j — 7—. =Rcotï.

^ doL sin i

Pour que deux hyperboloïdes-de révolution puissent se raccorder, il faut que le produit R coti soit le même pour les deux surfaces; ce produit n'est autre chose^ comme on sait, que le demi-axe non transverse de l'hyperbole méridienne.

Lsijîg, io5 représente deux hyperboloïdes tangents tout le long d'une génératrice commune GG' (*) : nous verrons dans la deuxième section comment on utilise actuellement dans les machines les propriétés de deux solides de ce genre.

(') Cette épure a été empruntée, avec l'autorisa tion de l'auteur, au Traite de Géométrie descriptive de M. de la Gournerie (2* Partie), ouvrage auquel je renverrai pour toutes les questions relatives aux surfaces gauches.