CHAPITRE IV. — COMPOSITION DES MOUTEMENTS D'uN SOLIDE. I/JS

§ XII. — Composition et décomposition des translations.

Si les deux mouvements qu'on demande de composer sont deux mouvements de translation, la vitesse relative OA kfig' io6) est constante à un instant donné en grandeur et en direction, quel que soit le point considéré; et il en est de même de la vitesse d'entraînement OB.

Donc la vitesse résultante OC est également constante, en grandeur et en direction, pour tous les points du système solide qui nous occupe; c'est-à-dire que le mouvement composé de deux translations est lui-m.ém.e un mouvement de translation dont la vitesse est la résultante des vitesses des deux mouvements composants.

Ce théorème est vrai, quel que soit le nombre des translations à composer. On pourra donc, tout comme dans le cas où il s'agissait des vitesses d'un point unique, remplacer autant de translations qu'on le voudra par une seule. Inversement, on peut décomposer une translation donnée en trois autres, parallèles respectivement à trois axes rectangulaires ou obliques.

Les formules qui résolvent analytiquement les problèmes relatifs à la composition et à la décomposition des translations sont celles que nous avons données (p. 87), et qu'il est inutile de transcrire ici.

§ XIII. — Composition et décomposition des rotations.

Supposons maintenant que le mouvement relatif d'un solide se réduise à une rotation OQ (^), et que l'axe OQ, relatiez) Remarquons à cet égard que, pour définir une rotation relative, il ne suffit pas de donner la ligne autour de laquelle s'efîectue cette rotation, ainsi que la vitesse angulaire et le sens du mouvement : il est indispensable d'indiquer le système des trois axes mobiles, par rapport auxquels le corps est animé de la rotation dont on veut parler. Supposons en effet qu'un de ces axes soit l'axe OQ de la rotation relative : si les deux axes, qui sont perpendiculaires à celui-ci, tournent eux-mêmes aussi vite que le corps et dans le même sens, il est clair que la rotation apparente sera nulle; et, en général, selon qu'on fera tourner ces axes autour de OQ plus ou moins rapidement que le corps mobile, la rotation apparente se trouvera positive ou négative.

Cette rotation est donc absolument indéterminée, tant que le système de comparaison n'est pas suffisamment défini.

l44 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

vement immobile, fasse partie d'un système qui tourne luimême autour d'un axe O'P (^fig. 107), fixe d'une manière absolue.

Proposons-nous de composer ces deux mouvements, en commençant par le cas où l'axe de la rotation relative et celui de la rotation d'entraînement sont contenus dans un même plan.

Composition de deux rotations dont les axes se rencontrent.

Soit {fig- 108) un corps solide animé de deux rotations simultanées, autour des axes OP et OQ, qui se rencontrent en O. Les deux composantes de la vitesse du point d'intersection des deux axes sont nulles : par suite le mouvement composé est une rotation autour d'un axe qui passe par ce point 0. Pour déterminer la direction de cet axe, il faut trouver un deuxième point dont la vitesse soit nulle.

Or, je dis d'abord que ce point doit être cherché dans le plan POQ.

En effet, les deux composantes de la vitesse d'un point situé hors de ce plan ne sont pas dirigées suivant une même droite : elles ne peuvent donc se détruire; et l'axe de la rotation composée ne saurait être en dehors du plan des deux rotations données.

Cela posé, soient m un point pris dans l'intérieur de l'angle

des deux axes, x et y les distances du point m aux lignes OP

et OQ : les deux composantes de la vitesse de ce point sont

perpendiculaires au plan POQ; elles sont de sens contraire,

comme on le voit aisément en se reportant à nos conventions

relatives aux sens des rotations; enfin elles ont pour valeurs

absolues respectivement /?j? et qyyp et q étant les vitesses

angulaires données. Il suit de là que le point m restera fixe,

si l'on a la relation

px — qy.

Cette équation détermine la direction de l'axe cherché, laquelle est celle de la diagonale du parallélogramme construit sur les deux lignes OP et OQ, qui représentent à une échelle convenue les vitesses angulaires des deux rotations composantes.