CHAPITRE IV. — COMPOSITION DES MOUVEMENTS d'cN SOLIDE. l

Je dis de plus que la vitesse angulaire de la rotation composée est représentée à Téchelle de la figure par la diagonale OR elle-même ; de sorte que celte ligne OR nous fait connaître à la fois la grandeur, la direction et le sens de la rotation qu'il s'agissait de déterminer.

Pour établir ce dernier point, nous remarquerons que le quotient de la vitesse d'un point quelconque du solide par sa distance à la ligne OH est nécessairement constant, puisqu'il a été démontré que le mouvement est une rotation autour de OR; c'est ce quotient qui est la vitesse angulaire cherchée. Désignons par r cette vitesse angulaire, et considérons un point Q situé sur l'axe OQ. L'une des composantes de la vitesse de ce point est nulle, l'autre a pour valeur

/? X QH :

d'après ce que nous venons de dire, l'expression de r est

/>xQH

Or, les deux triangles OPR, OQR sont égaux; les produits OP X QH et OR x QH', qui représentent les doubles de leurs aires, sont donc égaux : c'est-à-dire qu'on a

QH OR r QH' ~0P ~ p

Donc r est égal à OR, puisque OP a été pris égal à/?.

Parallélogramme des rotations. — En réunissant les deux résultats qui précèdent, on dira simplement que deux rota-lions simultaFiées, autour de deux axes concourants, se réduisent à une rotation unique j représentée par leur résultante géométrique. Cette règle est identique à celle qui se rapporte à la composition de deux vitesses d'un point mobile.

On conclut de là que des rotations en nombre quelconque, s'effectuant autour d'axes qui passent tous par un même point, se réduisent à une seule représentée par la ligne qui ferme le polygone des rotations composantes (*). On en conclut encore

(') Celte représentation lumineuse de la composition des rotations est due à Lagrange.

BouR. — Cours de Mécanique. I. 10

l46 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

qu'une rotation quelconque, dont Taxe est donné, peut toujours être remplacée par trois rotations autour de trois axes rectangulaires ou obliques, qui se croisent en un point de Taxe donné.

Composition des rotations autour d*aœes parallèles.

Considérons d*abord deux rotations de même sens, et soient AP, BQ {fig* 109) les axes de ces rotations : les deux composantes correspondantes de la vitesse d'un point sont dans un plan perpendiculaire à ces axes; donc tous les points du corps ont des vitesses parallèles à ce plan, et par conséquent le mouvement se réduit à une rotation autour d'un axe parallèle aux axes donnés.

Il est d'ailleurs évident que les points animés d'une vitesse nulle sont situés dans le plan des deux lignes AP, BQ; qu'ils se trouvent entre ces deux lignes, si, comme nous l'avons supposé, les deux rotations sont de même sens; enfin que les dislances x et j de ces points aux deux axes doivent satisfaire à la relation

pœ=iqy.

On conclut de là que les distances de l'axe de la rotation composée aux axes des rotations composantes sont inversement proportionnelles aux vitesses angulaires p, q.

Remarquons enfin que la vitesse d'un point de la ligne BQ s'exprime indifféremment par/? {x h- j) et par r/, si l'on désigne par /• la vitesse angulaire autour de l'axe CR que nous venons

de déterminer; donc

p{x^y)-ry.

En remplaçant dans le premier membre de celle équation px

par qy^ on obtient

r—p-^rq.

Deux rotations p et q^ parallèles et de même sens, se composent en une seule égale à leur somme p -\- q* L'axe de cette rotation est parallèle aux axes donnés, et divise leur distance dans la raison inverse des quantités p et q.

Si les deux ratations p ^X. q étaient de sens contraires fig. iio), on trouverait aisément :

i<» Que le mouvement résultant est une rotation autour d'un