CHAPITRE iV. — COMPOSITION DES MOUVEMENTS D*DN SOLIDE. ï^y

axe parallèle aux axes des rotations p et ^, et situé dans le plan de ceux-ci ;

2" Que cet axe est en dehors de la portion du plan comprise entre les axes AP, BQ, et du côté de Taxe qui correspond à la plus grande vitesse angulaire p ;

3<» Qu'en nommant toujours x eiy les distances d'un point de cet axe aux lignes AP et BQ, on a la relation

px — qy;

4** Enfin, que la rotation résultante a lieu dans le sens de /?, et que la vitesse angulaire de cette rotation est égale à la différence p — q.

Composition d*un nombre quelconque de rotations parallèles, — Lorsqu'un solide est animé d'un nombre quelconque de rotations dont les axes sont tous parallèles, on trouve le mouvement de ce solide en composant successivement, et dans un ordre quelconque, les rotations données.

On prendra par exemple deux rotations de même sens, et on en déterminera la résultante ; on composera cette résultante avec une troisième rotation de même sens ; puis, quand on aura épuisé toutes ces rotations, on traitera de la même manière celles dont les axes ont la direction inverse. On arrivera ainsi à remplacer toutes les rotations données par deux rotations seulement : ces deux rotations seront de sens opposé, et leur composition donnera la résultante définitive.

Soient/? et q les deux résultantes partielles, D la distance des axes de ces deux rotations; on a, pour déterminer Taxe de leur résultante, la relation

px — qy = q{Y^^x); d'Où

X^\>-^—, VmD— ^

Cas singulier. — Si ^ et/? sont très peu différents l'un de l'autre, la vitesse angulaire,/? — ^, de la rotation résultante se trouve très petite ; et en même temps l'axe de cette rotation s'éloigne de plus en plus des deux axes donnés.

Vient-on à supposer p et q rigoureusement égaux, on

trouve, en appliquant les règles précédentes, que ces deux rotations équivalent à une rotation nulle, s'eifectuant autour d'un axe situé à l'infini. Ceci ne nous apprend absolument rien : sinon que, dans ce cas remarquable, il n'y a plus de points fixes dans le corps; par suite, le mouvement de celui-ci doit changer de nature, et il est facile de démontrer qu'il se réduit à une pure translation.

Soit M (/f-^. m) la projection d'un point du corps sur un plan perpendiculaire aux deux axes; joignons MA', MB'. La vitesse du point M est la résultante des vitesses Ma, N6 respectivement perpendiculaires aux rayons MA', MB', et proportionnelles aux longueurs de ces rayons.

Construisons cette résultante Me. Les trianglesM^cetMA'B' sont semblables, comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels; on conclut de là : d'une part que la droite Me est perpendiculaire à AB, et d'autre part que la longueur de cette droite est exprimée par le produit /?D, D étant toujours la distance AB. Ces deux résultats sont indépendants de la position du point M.

Ceci prouve que, lorsqu'un solide est animé simultanément de deux rotations égales, contraires, mais non directement opposées, la vitesse est constante en grandeur et en direction pour tous les points de ce corps; et par conséquent le mouvement résultant des deux rotations que nous venons de définir est un pur mouvement de translation.

Des couples de rotations.

L'ensemble de deux rotations parallèles égales et de sens contraire, mais non directement opposées, forme ce qu'on appelle un couple de rotations, et jouit des propriétés suivantes :

1° Un couple de rotations équivaut à une translation perpendiculaire à son plan, translation dont la vitesse s'obtient en multipliant la vitesse angulaire commune des deux rotations qui constituent le couple par la distance des axes autour desquels ces deux rotations s*effectuent.

Le produit ainsi obtenu, /?D, est le moment du couple.

2° Un couple de rotations peut être transporté d'une manière