CHAPITRE IV. — COMPOSITION DES MOUVEMENTS D*UN SOLIDE. l

quelconque dans son plan ou dans tout autre plan parallèle, et tourné comme on voudra. En effet, tous les couples ainsi obtenus sont équivalents à une même translation : ils sont par conséquent équivalents entre eux.

3<» On peut, par la même raison, disposer à volonté de la grandeur de la rotation 7?, ou de celle du bras de levier D (*), pourvu qu'on n'altère pas le moment du couple.

4° Inversement, une translation quelconque étant donnée, on a le droit de lui substituer un couple situé dans un plan perpendiculaire à la direction de la vitesse de la translation, plan passant d'ailleurs par tel point de l'espace que l'on voudra. De plus, on peut choisir arbitrairement dans ce plan la direction commune des deux rotations du couple, ainsi que l'un des deux éléments, /?, D, en déterminant l'autre par la relation

• Usage des couples de rotations. — L'idée d'un mouvement de translation est éminemment simple, et il ne peut être question de lui substituer l'image beaucoup moins nette fournie par deux rotations égales et contraires. L'introduction des couples dans la Cinématique doit être considérée comme un pur artifice de raisonnement, propre à simplifier la résolution de certains problèmes.

Transport d'une rotation parallèlement à elle-même. — On peut par exemple, grâce aux propriétés des couples, remplacer une rotation quelconque OP {Jîg> 112) par une rotation égale, dont l'axe passe par tel point de l'espace que l'on voudra, 0', plus une translation perpendiculaire au plan OPO'.

Il suffît pour cela de prendre cette translation équivalente au couple (0'P",OP), ce qui est toujours possible : on voit que la réunion de cette translation avec la rotation O'P' produit précisément la rotation OP.

Application. — Nous nous sommes représenté le mouvement le plus général d'un corps solide en attachant à un point quelconque de ce corps trois axes animés d'un mouve-

(') La longueur D s'appeiie le bras de levier du couple : nous verrons plus tard l'origine de cette dénomination, empruntée au langage de la Statique.

l50 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

ment de translation dont la vitesse est égale à la vitesse variable OA de ce point : le mouvement du solide, relativement à ces axes, est une rotation OP, dont Taxe passe par le point 0. Soit 0' un autre point quelconque du solide; ajoutons aux deux mouvements OA, OP deux rotations contraires dont les axes soient tous les deux dirigés suivant la parallèle à Taxe OP, menée par le point 0', et dont les vitesses angulaires soient égales en valeur absolue à OP. Il est clair que nous n'avons rien changé au mouvement du solide; seulement ce mouvement se présente maintenant comme composé de quatre mouvements simples, savoir : les trois rotations OP, OT', 0'P\ et la translation OA, ou O'A' {').

Mais OP et O'P'' forment un couple de rotations; ce couple équivaut à une translation O'B qu*on peut composer avec O'A'; et il ne nous reste plus, outre la translation résultante O'V, que la rotatiofi O'P', laquelle n'est autre chose que la rotation OP, transportée au point 0'.

Le mouvement du solide peut être indifféremment considéré comme composé : soit de la translation OA et de la rotation OP, soit de la translation O'V et de la rotation O'P'.

Les diverses décompositions dont un même mouvement est ainsi susceptible donnent lieu aux remarques suivantes :

1° Quel que soit le point choisi pour origine des axes mobiles, on trouve toujours une même ligne pour représenter en grandeur et en direction l'axe de la rotation du corps. Cette ligne est évidemment parallèle à l'axe central.

a° La translation varie d'un point à un autre : cependant on trouve toujours la même valeur pour tous les points d'une même ligne telle que OP, parallèle à l'axe central.

3<» La ligne qui, en un point donné, représente la translation, n'étant autre chose que la vitesse du point lui-même, on voit que la construction qui précède nous fait connaître d'une manière simple la vitesse d'un point quelconque d'un système solide, quand on se donne la translation et la rotation de ce système.

4° Enfin, pour déterminer l'axe central, il faut décomposer

(») Il est évident que la ligne qui représente une translation peut être indifféremment menée par un point quelconque de l'espace.