CHAPITRE IV. — COMPOSITION DES MOiTEMENTS d'uN SOLIDE. l5l

la translation OA parallèlement et perpendiculairement à Taxe de la rotation OP {fig. ii3).

La composante OM revient à un couple de rotations situé dans un plan perpendiculaire à POM ou à POA. Arrangeonsnous de manière que l'une des rotations du couple détruise la rotation OP : le point Oi, où l'autre rotation devra être appliquée, est un des points de l'axe central. On trouvera la longueur OOi par réqualion

OMrr:OPxOO,.

Composition des mouvements quelconques.

Pour composer un nombre quelconque de mouvements élémentaires, lesquels se réduisent chacun en particulier à la combinaison d'une translation et d'une rotation, on prendra une origine arbitraire 0, et on transportera en ce point toutes les rotations. Ces rotations se composeront toutes en une rotation unique, à laquelle il faudra joindre, pour avoir le mouvement réel, la résultante qu'on obtient en composant toutes les translations données, plus celles qui proviennent du transport des rotations au point 0.

Concevons par le point trois axes quelconques : ce qui précède donne le moyen de décomposer le mouvement d'un solide en trois translations, parallèles aux trois axes, et trois rotations s'effectuant autour de ces mêmes axes.

Enfin tout mouvement élémentaire peut encore être décomposé, et d'une infinité de manières, en deux rotations autour de deux droites non situées dans un même plan. L'une de ces droites peut être prise à volonté (*); l'autre est la conjuguée de celle-ci, et réciproquement.

( * ) Il suit de là qu'une droite peut être amenée d'une position à une autre par l'effet d'une simple rotation autour de sa conjuguée. Il est à remarquer que cette conjuguée est unique, quel que soit le système solide dans lequel on insère la première droite.

Lorsqu'on considère une droite mobile, sans se préoccuper de fixer les trajectoires des divers points de cette droite, il y a une infinité de manières de la faire passer d'une position à la position voisine, au moyen d'une simple rotation. Le lieu des conjuguées qui répondent à ces divers mouvements, c'est-à-dire le lieu des axes des hyperboloïdes de révolution qui se raccor-

l52 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

§ XIV. — Mouvement relatif de deux solides qui se déplacent

CUACUN d'une manière QUELCONQUE.

Problème général. — Deux corps sont animés de mouvements connus quelconques : trouver le mouvement relatif de Vun d'eux par rapport à Vautre, c'est-à-dire par rapport à trois axes rectangulaires invariablement liés à celui-ci,

La solution de ce problème, dont on rencontre de nombreuses applications dans l'étude des machines, résulte immédiatement de la théorie de la composition des mouvements.

En effet, il est évident qu'on ne change pas le mouvement

dent avec la surface gauche décrite par la droite, n'est autre chose que le paraboloïde normal à cette surface le long de notre droite.

De la définition que nous avons donnée des droites conjuguées, considérées comme axes de rotation, découle immédiatement la propriété suivante, qui définit ces mêmes droites au point de vue de la Géométrie pure :

Les plans normaux aux trajectoires de tous les points d'une droite mobile ont pour intersection commune la droite conjuguée.

Menons la perpendiculaire commune à Taxe central et à la droite donnée D; le pied de cette perpendiculaire P sur la droite D est le point central de l'élément gauche décrit par cette droite dans son mouvement infiniment petit : nous l'appellerons le point central de la droite.

Cela posé, considérons le paraboloïde normal à la surface de vis à filets carrés décrite par la perpendiculaire P, on a le théorème suivant :

La conjuguée d'une droite est parallèle à la génératrice du paraboloïde normal qui passe par le point central de cette droite.

Cette propriété étant réciproque, la conjuguée se trouve aussi déterminée de position, puisqu'il suffit pour en avoir le point central de chercher sur la ligne P le point où la génératrice du paraboloïcTe est parallèle à la droite donnée.

Plaçons-nous sur l'axe central, supposé vertical, de manière à voir la rotation instantanée s'efl'ectuer dans notre sens positif, et regardons toutes les droites dont le point central est sur la ligne P. Les portions de ces droites situées au-dessus du paraboloïde sont les axes des rotations conjuguées équivalentes au mouvement hélicoïdal qui nous occupe. Il n'est donc pas possible, au point de vue cinématique, pour toutes les droites qui descendent au-dessous du paraboloïde, d'assigner une direction conjuguée. Quant aux génératrices du paraboloïde et de tous les autres paraboloïdes de même nature, il n'existe aucune manière de les amener d'une position à la position voisine, au moyen d'une simple rotation.

Je ne développerai pas davantage les propriétés des droites conjuguées, lesquelles s'étendent au cas où Ton considère un déplacement fini d'une droite dans l'espace. (Consulter les nombreux Mémoires de M. Chasles, déjà cités.)