CHAPITRE IV. — COMPOSITION DES MOUVEMENTS D'UN SOLIDE. l

relatif cherché en imprimant à Tensemble des deux corps un mouvement commun quelconque. Prenons ce mouvement commun égal et contraire au mouvement de Tun des deux solides : celui-ci se trouvera réduit au repos, et le mouvement absolu de l'autre sera précisément le mouvement relatif demandé. Ce mouvement s'obtient, comme on voit, en composant, par les règles établies dans le paragraphe précédent, le mouvement propre du solide avec un mouvement égal et contraire à celui des trois axes de comparaison.

Appliquons cette solution générale aux cas particuliers les plus intéressants.

Problème I. — Deux corps tournent en sens inverse autour de deux axes fixes et parallèles C, C, avec les vitesses angulaires respectives ((*)),(—&)'): trouver le mouvement relatif du solide (C) par rapport au solide (C).

Solution. — Composer la rotation w, dont l'axe est projeté en C {fig. ii4), avec une rotation w' égale et contraire à la rotation C. Les deux rotations à composer sont de même sens, puisque les rotations données ont été supposées de sens contraire : la résultante est égale à la somme w -h w'; et l'axe de cette rotation résultante, axe instantané de la rotation relative, s'obtient en divisant la distance CC, dans le rapport inverse des quantités w et w'.

Le mouvement de {G) par rapport à (C) est une rotation égale et contraire à celle que nous venons de trouver : elle s'effectue autour du même axe A.

Corollaire, — Si le rapport -7 est constant. Taxe déterminé

en vertu de la règle précédente occupe une position fixe dans l'espace (*).

Problème IL — Deux corps assujettis à tourner autour de deux axes fixes et parallèles C, C sont en contact par deux cames de forme quelconque {cylindrique) : trouver le rapport des vitesses angulaires de ces deux corps autour de leurs axes respectifs,

(*) Il n'en mérite pas moins le nom d'ogre instantané, car il n'est axe de rotation que dans le mouvement relatif, et il n'est pas relativement fixe.

l54 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

Solution, — D'après ce que nous venons de voir, le mouvement du corps (C) par rapport au corps (C) est une rotation autour d'un centre instantané A (fig. 1 15), situé sur la ligne GC.

D'autre part, nous savons que la normale commune à deux courbes qui sont assujetties à rester constamment en contact passe au centre instantané de la rotation relative; donc ce centre n'est autre que le point où la normale MN vient rencontrer la ligne des centres.

Une fois le point A déterminé, nous savons, parle problème précédent, que le rapport des vitesses angulaires est l'inverse de celui des segments CA, C'A.

De là ce théorème déjà établi précédemment, d'une manière indirecte :

Les vitesses angulaires de deux courbes planes qui s' appuient l'une sur l'autre sont en raison inverse des segments déterminés par la normale commune sur la ligne qui joint les centres autour desquels tournent ces deux courbes.

Corollaire. — Pour que ie rapport des vitesses angulaires soit constant, il faut et il suffit que la normale commune aux deux cames vienne couper la ligne des centres en un point fixe.

Problème III. — Les choses étant com,me dans le problème précédent, trouver l'étendue du glissement relatif.

Soit M le point de contact i^fig. ii6) : au bout d'un temps infiniment petit dty le contact se fait en un autre point Mj, et les points primitivement réunis en M se trouvent transportés en n et /i'. La distance nn' est, d'après notre définition, l'arc de glissement : arc dont la direction limite est celle de la perpendiculaire à la normale commune.

Considérons le triangle infiniment petit M nn\ dont les côtés ont pour valeurs

M/i :=ds ^=(ù dt X CM,

Mn'=ds'=(^'dtxC'My

nn' z=zdS = Vgdt :

les rapports de ces côtés sont égaux aux rapports des sinus des angles opposés. Mais, les trois côtés du triangle Mnn' étant perpendiculaires respectivement aux droites MA, MC, MC, on