CHAPITRE IV. — COMPOSITION DES MOUVEMENTS D*UN SOLIDE. iSq
La ligne ainsi déterminée n*est autre chose que l'axe de rotation glissant.
On déduit de Téquation précédente
ph cospf r ' qh cosg, r
en ayant égard à la relation évidente
r^^p cosp, r -\- q cosq, r.
Donc
p cos/?, r __ cotpy r ^cos^ ,. cot^, /•
car
p sin^, r
^ sinp, r
Pour construire z, inscrivons dans la projection horizontale de Tangle des axes donnés, et perpendiculairement à Taxe de la rotation résultante, une longueur PiQi = PQ = /t; cetle ligne est divisée au point I dans le rapport demandé. En effet,
on a
QI nz Qi I cot^, r z=z IPj coip, /•, d'où
IP, ~ li — z' Scolie. — Quand les axes sont rectangulaires, les angles désignés par/?, r et q, r sont complémentaires; donc P — I z p-
^ col^, r n ^ q
Théorème. — Uaxe de rotation glissant divise la plus courte distance des deux axes, supposés rectangulaires, dans le rapport inverse du carré des vitesses p et q.
Autrement : les vitesses angulaires des deux arbres sont entre elles inversement comme les racines carrées des distances des axes à Taxe instantané (*).
(») Et non comme ces distances eUes-mêmes, ainsi que l'ont écrit plusieurs auteurs.
l6o PREMIERS SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.
ProblèmeX. — Déterminer les deux surf aces réglées que décrit Vaxe instantané dans lUntérieurde chacun des deux corps,.
Considérons seulement le cas où le rapport — est constant :
l'axe instantané est fixe dans l'espace, mais il ne Test pas dans les deux corps; et ses positions successives tracent respectivement deux hyperboloïdes de révolution qui, dans le moavement, se touchent constamment tout le long de la générairice commune.
Scolie. — Il est facile de vérifier a posteriori que ces deux surfaces satisfont à la condition nécessaire et suffisante pour le raccordement des hyperboloïdes de révolution.
En effet, les rayons R et R, des cercles de gorge de ces hyperboloïdes sont respectivement égaux à z et /i — z; les inclinaisons i et ii de la génératrice sur chaque axe sont les
angles que nous avons désignés par q, r eip, r. Donc l'équation
z coiq, rz=z {h — z)colPir
revient à la relation que nous connaissons :
R COtf=: Ri COt/j.
§ XV. — Théorie analytique de la rotation
AUTOUR d'un point.
Après avoir établi géométriquement les théorèmes relatifs à l'existence et aux propriétés de l'axe instantané de rotation dans le mouvement d'un corps autour d'un point fixe, ainsi que ceux qui se rapportent à la composition des rotations, il ne sera pas inutile de montrer comment l'analyse s'applique à ce genre de questions. Il importe en même temps de calculer, une fois pour toutes, les formules de Géométrie analytique dont nous aurons plus tard à faire un usage continuel, dans l'importante théorie de la rotation des corps.
Nous nous bornerons d'ailleurs au cas où il y a un point fixe dans le système, et nous démontrerons analytiquement :
1° Que dans le mouvement d'un corps autour d'un point fixe, il y a toujours dans ce corps une infinité de points situés
