CHAPITRE IV. — COMPOSITION DES MOUVEMENTS D*UN SOLIDE. l6f
sur une même ligne droite, points animés à un Instant donné d'une vitesse nulle;
2^ Que les vitesses de tous les autres points du solide sont les mêmes que si le corps tournait effectivement autour de cette droite dont la vitesse est nulle, droite qui porte le nom d*aj?e instantané ou spontané de rotation ;
3*» Enfin que ces vitesses sont encore les mêmes que si le corps tournait simultanément autour de trois axes rectangulaires quelconques (menés par le point fixe), avec des vitesses angulaires représentées par les projections sur ces trois axes de la vitesse angulaire autour de Taxe instantané.
Il suffit, pour établir ces propositions, de diiférentier les formules ordinaires de la transformation des coordonnées, en appliquant ces formules au passage d'un système d'axes liés au corps à un système fixe dans Tespace. Nous supposerons ces deux systèmes rectangulaires.
Prenons pour origine le point fixe; soient OXi, OY,, OZ, (Jig. 122) trois axes rectangulaires immobiles par rapport au corps, et OX, OY, OZ trois autres axes fixes dans l'espace.
Un point du solide est déterminé à un instant quelconque par ses coordonnées ^t, ji, z^, prises par rapport aux axes mobiles, et par les positions de ces axes au même instant : positions qu'on définit en donnant les neuf cosinus des angles formés par les axes mobiles avec les axes fixes.
Si l'on pose, pour abréger,
a cosXijX,
a" cosZ,,X,
b cosXi, Y,
6"=cosZ„ Y,
c cosXj, Z,
C Yu Z,
c'-cosZ,, Z('),
011 a les expressions suivantes pour les coordonnées du point (^1» Ji> ^i)> considérées par rapport aux axes OX, OY, OZ :
œ -=i aa^i ^- a' y^ -f- a' y—bx^-\-b'y^-^b'
z ^=: Cœ^ -h c' Vj H- c" z^.
( * ) Ces neuf cosinus sont les mêmes à chaque instant pour tous les points du corps; mais ils varient pendant le mouvement. Ce sont. donc des fonctions du temps, et du temps seulement.
Ces cosinus satisfont aux relations que l'on connaît.
BouR. — Cours de Mécanique. I. Il
PREMIfeRB SECTION. — CIHÉMATIQUE PURE.
rérentions ces équations, en considérant ir,, y,, s, comme onstantes; nous obtiendrons les composantes de la vida même point, projetée sur les trois axes fixes :
lix da da! da'
dt ~
dt
dt
Si -
db
dt
dV
dt
dz
de
dé
a posé, je dis en premier lieu que le mouvement du est une rotation autour d'un axe que nous allons déter-
Tchons les projections Ca^, v^^, C;, de la vitesse de notre sur tes axes mobiles.
obtient i-i, en multipliant respectivement v^, ■'j-* ''^ P^""". Bt ajoutant; l'expression à laquelle on arrive présente le remarquable : qu'elle ne contient pas de terme en x^ . en effet
da , db de d i , ,
ité identiquement nulle, puisque la somme a* + 6' + c*
^ale^ l'unité.
uit de là que l'expression de Vx, se compose uniquement
rmes multipliés par ^i ou par s, : nous la mettrons sous
me
lefficients 9 et r satisfaisant aux relations da' ^ db' de"
da' , db' de'
dt dt dt
jn calcule Pj., par le même procédé, on trouve naturelit zéro pour le coefficient de y^ ; de plus, il arrive que ïflicient de x^
