CHAPITRE lY. — COMPOSITION DES MOUVEMENTS &*lJIf SOLIDE. l

est égal et de signe contraire à celui de jj dans Texpression de r^,.

C'est ce qu'on voit tout de suite en ayant égard à Téqualion

-y- ( aa' H- by H- ce') = o.

de laquelle on déduit

, da ., db , de [ da' . db' de' »

On a donc en définitive

en faisant

, da" , , db" , de' dt dt dt '

on trouverait de même

les coefficients p Qiq étant les mêmes que ceux qui figurent dans les expressions de v^^ et Vy^,

Nous verrons tout à Theure la signification des quantités p, Çy r {^), qui jouent le principal rôle dans cette théorie, et qui jusqu'ici représentent simplement, pour abréger récriture, certaines fonctions des neuf cosinus et de leurs dérivées.

Axe instantané de rotation. — Considérons les expressions que nous venons de trouver, pour les vitesses projetées sur les axes mobiles,

Vy^ — rx^—pz^,

^'z,—pyx — q^x\

( *) On peut dès à présent remarquer, avec M. Duhamel, que les produits pdt, qdt, rdtf représentent respectivement les angles formés par chacun des axes mobiles avec sa position infiniment voisine. Si l'on prend pour axes fixes les positions initiales des axes mobiles, on trouve, pour déterminer la position de ces axes au bout du temps dt, les cosinus suivants :

7,-—ij en' = — r dt, a" = q dt^

•^^ — — q dt, y' — J9 dt, ï" = • .

>4 PREKIËRB SECTION. — CINÏMATIQUE PURE.

n annule à la fois ces trois quantités, en posant

Or, ces équations sont celles d'une ligne droite, dont tous les points ontà l'instant considéré une vitesse nulle : ainsi se trouve démontrée la première partie de ce que nous nous proposions d'établir.

La droite immobile passe par l'origine; elle fait avec les axes mobiles des angles dont les cosinus ont pour expressions :

en prenant

Cela posé, faisons la somme vl^ + c^, + vl, des carrés des trois composantes de la vitesse d'un point du système, il vient, en vertu d'une formule algébrique bien connue, v^={p* + q^ + r'-){x\ -H y\ + z\ )- [px^ 4- y/, -+- rz^y. Désignons par p la dislance du point (a^i, y,, Si) à l'origine, par £î l'angle de ce rayon vecteur avec la droite (p, 7, /■); c'est-à-dire faisons

^î + JÎ + =Î — p'.