CHAPITRE lY. — COMPOSITION DES MOUVEUENTS D*UN SOLIDE. l

droite dont la vitesse est nulle, cette rotation s'efiFectuant avec une vitesse angulaire égale à w, c'est-à-dire hs/p*-h q^-^- r^.

Les formules précédentes déterminent à la fois la direction de Vaxe instantané de rotation, et la vitesse angulaire du mouvement correspondant.

Décomposition de la rotation instantanée, — Cela posé, il est facile de voir qu'on arriverait pour les vitesses composantes à des expressions parfaitement identiques à celles qui précèdent, si l'on supposait le corps animé de trois rotations simultanées, p, q, r, s'effettuant autour des lignes OXj, OYi, OZi (c'est-à-dire si Ton prenait pour ç^^ ^y,> ^z, les sommes des valeurs qu'on obtiendrait séparément si chacune des trois rotations/?, q, r existait seule).

En effet, la rotation /? (y?^. 128) donne lieu à une vitesse HI, perpendiculaire à l'axe OXi ; cette vitesse a pour expression

p^y\ -{- z\, et ses projections sur les trois axes sont égales respectivement à

o, —/?-!, Pfi.

De même, les rotations ^ et r fournissent

qzi, o, — qx^y

— r/i, ra?i, o.

En faisant la somme de ce qui se rapporte à chacun des trois axes respectivement, on trouve pour les composantes {^a:,f ^Xi* ^5t ^^^ expressions qui ne diffèrent pas de celles qui ont été écrites plus haut.

Des quantités p, q, r, — Il suit de là que les fonctions que nous avons désignées par les lettres/?, q, r sont les composantes de la rotation instantanée suivant les axes mobiles OXi, OYi, OZj. Nous venons de voir comment ces fonctions se trouvent déterminées, quand on connaît les neuf cosinus en fonction du temps : on a

da' dt

db' dt

de' dt'

da' dt

db" dt

-hc

de" dt'

da dt

db dt

de dt

l66 PREMIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

Mais on sait que les neuf cosinus, qui nous ont servi à passer (Fun système d'axes coordonnés rectangulaires à un système du même genre, ne sont pas absolument arbitraires, et qu'ils s'expriment au moyen de trois quantités seulement.

Les variables qu'on emploie ordinairement, d'après Euler^ pour déterminer les axes mobiles, sont :

1° L'angle ZjOZ {fig. 124), que l'on désigne par 0;

2° L'angle 4* formé avec OX par la trace OA du plan XjO Yt surYOX;

3<» Enfin l'angle cp de cette même. trace avec OXj.

Les expressions des coefficients a, a', a% 6, h\ h\ c, c\ c" sont alors les suivantes :