CHAPITRE IV. — COMPOSITION DES MOUVEMENTS d'oN SOLIDE

§ XVI. — Théorie analytique des mouvements relatifs.

Soient, comme précédemment (p. 83), 5, yj, Ç les coordonnées d'un point mobile M, par rapport à trois axes fixes; $', Y)', Ç' les coordonnées, prises par rapport aux mêmes axes, d'une origine mobile 0.

Soient enfin x^ y, z les coordonnées de notre mobile par lapport à trois axes passant par cette origine 0. Nous avons fait

a = cos^r, $, a'zzi cos/, \, a" ~ cos-c, ^,

(i) < 6— - cosa?,yî, 6'=:C0Sx,yî, 6"' — cos^;, tq,

C ~ COS J7, Ç, c' — cosj, Ç, c" = cos^, Ç,

et cela posé nous avons écrit les formules qui lient les coordonnées apparentes aux coordonnées absolues sous la forme suivante :

il—E,'-hax-h d y -\- a" z,

(2) \ n~n'-{-bx^ b' y H- b" z,

\ Ç = Ç' -h CJ7 -h c'y -h c" z.

Désignons par V la vitesse absolue du point mobile, par V,. sa vitesse relative, par Vg la vitesse d'entraînement.

Cette dernière est la vitesse absolue d'un point qui aurait à

l'instant considéré les mêmes coordonnées que le point M,

mais qui resterait en repos relatif : on a donc, pour ce point

idéal,

dx dy dz

'di-^' 5^""^' ~di-^'

et par conséquent on trouvera les composantes de sa vitesse en différentiant par rapport au temps les équations (a), sans faire varier les coordonnées apparentes x, y^ z :

4' da da' da" dt^"" dt "'"•^ dt ^* dt'

d-n' db db' db" dt dt •' dt dt

dX: de de' de"

dt ^"^ dt^y dt-^' dt-

l68 PREmÈRE SECTION. — CmÉMATIQUE PURE.

Les mêmes équations (2), si on les différentie en tenant compte du mouvement apparent du mobile, fournissent les projections de la vitesse absolue sur les axes fixes; on a, en ayant égard aux relations (3) :

-7. -^ dœ , dy dz

xr xr d^ I dy - dz

Or les dérivées -^} -~? -jr sont les projections de la vitesse

relative sur les axes mobiles; et Ton a, en se reportant à la signification des coefficients a, 6, c, a', . . . ,

dx . dy ,, dz -^

] ^ dx , , dy ,„ dz \ dt dt dt

\ dt dt dt

•(Yl)>

Ces relations permettent de mettre les équations (4) sous la forme

Ponc :

Théorème I. — La vitesse absolue est la résultante de la vitesse d'entraînement et de la vitesse relative;

ou bien

La vitesse relative est la résultante de la vitesse absolue et de la vitesse d'entraînement prise en sens contraire.

Pour avoir les relations qui existent entre les accélérations, il faut différentier une seconde fois les équations (2). Les pre-