CHAPITRE IV. -^ COMPOSITION DES MOUVEMENTS D'uN SOLIDE

miers membres des équations qu'on obtient par cette opération sont les composantes de Taccélération absolue du point M, projetée sur les trois axes fixes; quant aux deuxièmes membres des mêmes équations, on peut en grouper tous les termes sous les trois divisions suivantes :

1° Ceux qui ne contiennent pas les dérivées des coordonnées apparentes : termes dont la somme fournit les composantes de l'accélération d'entraînement ;

2° Ceux qui contiennent les dérivées secondes de ces mêmes coordonnées apparentes. On reconnaît comme précédemment que ceux-ci représentent les projections de Vaccélération relative sur les axes fixes;

3*> Enfin les termes qui restent en dehors des deux premières catégories, c'est-à-dire ceux qui sont fonction des

composantes 777' ;^' ^ ^^^ ^si vitesse relative.

£n ayant égard à ces remarques et faisant usage de nos notations habituelles, nous écrirons les équations dont il s'agit sous la forme suivante :

^ , , fda dx da' dy da" dz

.... ^ (db dx db' dy

dt dt

,^ de' dy

dt

dt

db' dt

dz dt

de"

dz

Il faut maintenant projeter toutes les lignes dont nous nous occupons sur les axes mobiles (*) : pour cela ajoutons les trois équations (7) multipliées respectivement, d'abord par a, ô, c, puis par a', b\ c', enfin par a\ b\ c\

Remarquons, avant de faire le calcul, que les cosinus qui figurent dans les équations précédentes définissent le mouvement du système solide de comparaison (système que nous réduisons pour plus de clarté aux seules lignes Ox^ Oj, Oz)y

(*) Il ne faut pas oublier que les axes mobiles sont nos véritables axes coordonnés; les axes fixes sont de simples lignes auxiliaires, dont il ne restera plus de traces à la fin des opérations.

J70 PREUIÈRE SECTION. — CINÉMATIQUE PURE.

relalivemenl à trois axes menés par l'origine mobile O, parallèlement à C^, Cyî, CÇ.

Nous savons que ce mouvement, sur lequel nous n'avons fait aucune hypothèse, est une rotation instantanée autour d'un axe passant au point (*); et nous avons trouvé dans le paragraphe précédent les expressions des projections de cette rotation sur les axes mobiles :

„ da^ , - dh^ „ de' ^ dt dt dt

da" ^ db" de"

(^^ ^'^^''-dF-^^-dF^'-di'

, da , , db , de r — a! —, — h c? -7 — h c' -r • dt dt dt

Or il est très remarquable que ces quantités, qui restent les mêmes quels que soient les axes fixes, soient précisément les seules fonctions des neuf cosinus qui subsistent dans les résultats auxquels nous voulons arriver.

En effet, si nous effectuons les opérations indiquées plus haut, et que nous résolvions les relations obtenues par rapport aux composantes de l'accélération relative, il vient

I f dy dz\

J,U) ^ ^x - ^eix) -^'^\^-dt~'^'dt)' ( dz dx

V c. / Jr(r) " ^y ~~ *'e(r) "*" ^ l /^ ^ ~~ ^ ~di

f T T ( dx dy

Théorème II. — U aeeélération relative est la résultante de V a^ccélération absolue^ de V aeeélération d'entraînement prise en sens eontraire, et d'une aeeélération complémentaire qu'on appelle accélération centrifuge composée,

II résulte des formules (9) que les composantes de cette

(') Cette rotation reste la même, en grandeur et en direction, quel que soit le point du système auquel on place l'origine O (p. i5o).