CHAPITRE I. — MOUVEMENT D'CN POINT MITïllIL

nable, Cire substituée à l'une quelconque des équations du

Nous pouvons l'écrire, en employant les signes d'intégration, sous la forme parfaitement équivalente

C = i m v> — J (X dx + Ydr -+- Zdz ) •^mv>-^mv\ = j (Xdx + Ydy-hZdi).

Cette dernière équ.ition donne lieu aux remarques suivantes :

1° L'intégrale écrite dans le second membre a toujours un sens bien défini. En effet, x, y, z sont des fonctions du temps (, qui existent nécessairement, puisque nous avons vu que, dans quelques conditions qu'un point matériel se trouve placé, le mouvement qu'il doit prendre est parfaitement déterminé. Donc dx, dy, dz sont aussi des fonctions de ( multipliées par dt. On conçoit donc que l'intégrale puisse toujours (lire calculée une fois le problème résolu, et qu'on vérifie ainsi l'équation dite des forces vives. 11 est clair d'ailleurs que cette équation ne saurait être, à ce point lie vue, d'aucune utilité pour la connaissance des lois du mouvement.

2° Le second membre représente le travail total de !a force F. Orona vu que le travail total peut se calculer approximativement soit par les procédés généraux de quadratures, soit au moyen d'appareils spéciaux dans chaque cas. Celte opération étant supposée effectuée, noire équation permettra de trouvera chaque Instant la valeur deu; elle fournircrtpproximalivcmenl une Intégrale, et pourra offrir de l'intérêt dans certaines questions de Mécanique appliquée.

3 D Enfin, dans un grand nombre de cas très-importants, il est possible d'intégrer la fonction Xdx -+■ Ydy-hZdz sans connaître les valeurs de x,y, z en fonction de t.

Par exemple, il est clair que l'expression xdx + ydy-t- zdz est toujours la différentielle de Hx' + y'+ a'), quelles que soient les valeurs de x, y et qui peuvent être des fonctions du temps ou de toute autre variable.

Intégrale des forces vives. — - Supposons donc que les composantes X, V, Z de la force motrice soient des fonctions

l8 DTHAIIQOR.

connues des coordonnées x, y; z du mobile, cl que la quantité

Xrf*+ïrfr + Zrfi soit la différentielle exacte d'une certaine fonction de ces coordonnées. Si l'on a

Xdx-t-Yd } --hZdz = <l.j{x,y, a), l'équation des forces vives prend la forme

Elle eonsïiluc alors une iniéprale do mouvement, et nous dirons que, dans ce cas, l'intégrale ilr.s forces vivei existe, l'équation des forces vives ajanl toujours lien sous h forme différentielle.

Surfaces île niveau. — On voit que, lorsque la fonction / (x, y, z) reste invariable, la vitesse ne change pas non plus.

Celle équation, dans laquelle C est une constante à laquelle on peut attribuer toutes les valeurs possibles, représente une famiiie de surfaces connues sous le nom de surfaces de niveau. On reconnaît aisément qu'en chaque point de l'espace il passe loujours une de ces surfaces, et une seule; et l'équation [6 } montre que, toutes les fois que le mobile traversera

que, pour tous les points d'une pareille surlace, f(x, y, z) a la même valeur. C# résultai est indépendant du chemin que le mobile aura suivi pour arriver à la surface, el du nombre de fois qu'il l'aura traversée entre les deux époques considérées. Nous ne nous arrêterons pas à discuter les cas singuliers où les surfaces de niveau se coupent mutuellement; d'où il suit que les propriétés précédentes cessent en partie d'avoir lieu (*).

Ces surfaces jouissent d'une autre propriété: c'est que, dans chacune des positions qu'occupe successivement le point mo-

(■) Consulter un Mémoire de M. J. Bertrand, iiusrc dans le XXVIII' Collier du Journal de l'École fefytÊtàlHJHt.

C11APITHE I. — MOUVEMENT d'UN TOINT MATÉRIEL. IÇf

liile, la force F, à laquelle il est soumis, est dirigée normalement à la surface de niveau qui passe en ce point. En effet, l'équation différentielle commune à toutes ces surfaces est

Xd*-+-Ydf + Zrfa = o.

Or ilx, dy, dz sont proportionnels aux cosinus des angles qu'un clément recliligne quelconque tracé sur la surface à partir de ce point fait avec les trois axes coordonnés, et X, Y, 2 sont proportionnels au\ cosinus des angles que la force F fait avec ces mêmes axes. L'équation précède Die exprime la pcrpcndirulaiilé de ces deux directions.

Il suit de là qu'on peut définir les surfaces de niveau par relie propriété, qu'il n pnint iimïiTÎcl posé sur une paiville surface, sans en pouvoir sortir, y reste en équilibre sous l'action de la force donnée.

Remarque. — Si l'intégrale 'les forces vives s'applique à un problème do mouvement, elle s'appliquera encore si, pour changer le mouvement, on no Tait qu'obliger le mobile à rester sur une surrace fisc ou sur une courbe fixe, sans rien changer aux forces dont les composantes ont été désignées par X, Y, Z. Car alors on introduit bien une nouvelle force, la réaction de la courbe on la surface; mais, comme cette réaction est normale, elle ne produit pas de travail el n'altère pas la différentielle' \dx + Ydy+Zds. Par exemple, dans le mouvement d'un corps pesant assujetti à se mouvoir sur une surrace quelconque, il y a une intégrale qui ne dépend pas de la nature de la surface : c'est celle des forces vives, qui garde la même forme, quelle que soit la courbe ou la surface directrice.

Cas dans lesquels t'intrgrn/e des forces vives existe. — Cherchons maintenant quelles sont les nuidiiioris nécessaires pour que l'intégrale des forces vives existe.

i" Il faut d'abord que les composantes de la force ne contiennent pas d'autres quantités variables avec ( que x, y cl s. En effet, si ces quantités repfermaient une autre variable, celle-ci se retrouverait dans l'intégrale, el l'on aurait, pour la différentielle totale de/

df=\dx + Yrf,- + Ztfj 4- d J- t dl;

3t) DIRU1Q0I.

les trois premiers termes ne formeraient Jonc pas la différentiellc complète de cette fonction.

a" Si l'on lient compte du frottement, l'intégrale des forces vives ne subsistera pas. En effet, le frottement est dirigé en sens inverse de la vitesse, et par suite ses composantes dépen-

dent des composantes

uniquement de x, y. I.

3° H en de même si le mobile se trouve dans un milieu dont la résistance doive entrer en ligne do compte, parce que l'expérience prouve que celte résistiiiics: dépend, aussi de la vitesse du mobile.

Nous allons citer les cas les plus importants dans lesquels l'intégrale des forces vives existe :

i° Quand la force qui agit sur le mobile est constamment dirigée vers un point fixe 0, et que sa grandeur dépend uniquement de la distance r du mobile à ce point fixe, en sorte

En effet, le travail élémentaire de la forcé F, pendant que le Fi e . g-

mobile va de M en M' [fig. 6), est égal à F x MN, ou, ce qui est la même chose,

flr)dr,

expression qui esl une différentielle exacte.

Mais si le centre d'attraction est mobile, l'intégrale n'existera plus, parce que le travail dépendra des coordonnées de ce centre, dont la position varie avec le temps.

3° L'intégrale des forces vives existe encore si la force esl dirigée perpendiculairement à un plan fixe xoy et que sa gran-

CHJP1T8Ï r. — KOUÏÏBÏNT D Utf POINT JUTÉËIEL. 3l

«leur f{z) ne dépende que de la dislance s du mobile à ce plan [fig. 7 ).

Fi U . 7 .

Car alors le travail élémentaire de la force, en appelant s"la distance du mobile au plan, est égale à f{z)dz, expression

Ce dernier cas est celui qui se rencontre dans le mouvement d'un corps soumis à la seule action de la pesanteur, lorsque le mouvement s'effectue dans un espace assez restreint pour que cette action puisse être regardée comme avant partout la même direction et une intensité constante. Dans ce cas, il arrive de plus que la fonction f[z) est constante.

L'intégrale des forces vives prend alors la forme suivante, l'axe des z étant dirigé de bas en haut :

h étant la hauteur de la chute.

Les surfaces de niveau sont des plans horizontaux, donc : quelle que soit la trajectoire qu 'un point matériel pesant soit assujetti d parcourir, le carré de la vitesse de ce point, et par suite la grandeur de cette vitesse elle-même, ne dépend à chaque instant que du niveau d'où il est tombé, et de celui oà il est quand on cherche sa vitesse. L'équation ne donnant que le carré de la vitesse, sou sens n'est pas déterminé.

Si l'on fait v, = o, on a l'équation bien connue

qui donne la vitesse acquise par un mobile tombé d'une hau-

teur h, soit librement, soit en suivant une courbe quelconque: c'est ce qu'on appelle la vitesse due à la hauteur h. Les obstacles n'oul pour elTel que lie changer la direction de la vitesse sans influer sur sa grandeur.

SI, au lieu de laisser tomber le corps, on le lance venicalsmenl, ou sur une surface lixe avec une vitesse v, il remonteà une liauleur

c'est la hauteur due à lavitesse v[').

Théorèmes relatifs aux quantités de mouvement.

Reprenons notre équation fonda me nlale, relative à la projection du mouvement sur un a\e fi\c quelconque,

Multiplions par dt et intégrons, il vient

Définitions. — s" Le produit mv de la masse d'un point matériel par la vitesse dont il est animé s'appelle la quantité de mouvement de ce point; mv, est la quantité de mouvement delà projection du point sur l'axe des x, ou la projection sur le même axe do la quantité de mouvement me, m étant un simple coefficient numérique dont la grandeur géométrique c est affectée.

a" Le produit Fdt est ['impulsion élémentaire de la force F

ensuite lihmnciil à l'action de la peslnlein qui lui h m une parabole,

il us cernante pas à la hauteur duc à celle vlte*>c. Cela tient Ù rc qu'en point le plus ils 11 trajectoire la lilrsst i'U li.H-iiolilale, niai. elle n'est jus

nulle, lien plus que 1s force vive. Si le corps était assujetti .i suivre mie roui l.e ou une surface, il pourrait remonter juse-n'a ce que sa vitesse fût nulle, et atteindrait alors la hauteur

L'.'i .1 ii:u"j !:.■

pendant le Lemps dt, ei l'Intégrale définie / Fdt csi l'impul-

sion totale [lonilrtni le temps lini ( — ~S.dt est Y impulsion île in projection de lit force l" on la projection de l'impulsion de celte même force F, le temps devant être également considéré comme une quantité purement numérique.

Traitons d'une manière analogue l'équation de la projection du mouvement sur la tangente

Multiplions par dt et intégrons, il vient [8) mv-mr. -: f Pdl.

Les équations (7) cl [S) s'énoncent de ia manière suivante en langage ordinaire :

TntOBttE I. — L'accroissement de la projection sur un axe fixe de la quantité de' mouvement d'un point matériel, pendant un temps quelconque, est égal à l'impulsion totale, pendant le même temps, de la projection de la force qui agit sur ce point matériels

TnfioRîHF. II. — L'accroissement de la quantité de mouvement est égal à l'impulsion totale de la force tangentieltc.

Tout ce que nous avons eu occasion de dire relativement à l'intégrale qui représente le travail s'applique identiquement à celles qui représentent les impulsions totales.

Ces quantités, qui ont dans toute hypothèse un sens Lien défini, peuvent, dans certains cas, s'évaluer soit rigoureusement, soit approximativement. On aura alors une intégrale du

sa forme différentielle, puisqu'elle n'est autre chose qu'une combinaison des équations fondamentales du mouvement.

On peut arriver à un autre théorème également très-important, en considérant, au lieu des projections des quantités de mouvement et des impulsions, les moments de ces diverses lignes par. rapport à un axe quelconque.