III

Nous avons vu, e : ■ i Ciiii'nuitit|in', < j m- !;i vitesse v' à l'époque / -t- dt csl la résultante de la vitesse c nu temps / et de J</(. Multiplions par m les trois eûtes du triangle ABB' [fig. 8)

Fij. a.

formé par ces trois lignes, nous obtiendrons un triangle sembbble, diint les côtés seront 1rs quantités de mouvement ini-

souime des moments des composantes. Nous aurons ainsi 3K,mV — 0H.mii ^ 311 F A

(9) rfaiLmo = 3H/Frf(.

Donc -.

Tiiëorkhe III. — L'accroissement ,'1,'mrnltiiii: du moment de la quantité de mouvement, pris par rapport à un axe quelconque, csl t-»ttl un moment de l'impulsion élémentaire de lu force autour du même axe.

Quand le second membre de l'équation (g) est une différentielle exacte, on obtient une intégrale du mouvement; dans le cas contraire, on n'a qu'une équation différentielle pouvant tenir lieu d'une des équations ordinaires.

Parmi les cas où l'intégration csl possible, il faut distinguer celui où le moment do la force par rapport à l'axe est constamment nul : on conclut alors de l'équation (9) que Olbme est constant. Donc :

Théorème IV. — Quand la force qui sollicite un point mobile rencontre constamment une droite fixe, le moment de la quantité de mouvement du point par rapport à celte droite est constant.

CII1PIT1E I. — MOUVEMENT D*nH FOIM MATÉRIEL- 35 Ce résultat s'énonce ordinairement d'une autre manière, eu ayuul i''giir(l ;mv considéralimis géométriques suivantes.

Expressions diverses du moment de la quantité de mouvement d'un point. — Prenons un plan de projection perpendiculaire à l'axe des moments {fig. g), cl soit 0 le point qui

Fin- 9.

de la vitesse i', et par p la perpendiculaire abaissée du point 0 sur la direction de celle vitesse, on a

Or pds représente le double de l'aire dl déerile par le rayon vecteur OM pendant le temps dt; donc

îflbm v

di'

Les diverses expressions analytiques do l'aire d/ donnent autant d'expressions du moment de la quantité de mouvement. Si l'on rapporte le mouvement à l'axe 0 pris pour axe des z, et à deux autres axes rectangulaires coin pris dans te plan de notre ligure, on a

En coordonnées polaires, 0 désignant l'angle du rayon vecleur r avec l'axe 0, cl <1 l'azimut de ce rayon vecteur par rapport à un plan fixe quelconque, on a

mfsin'B 1 ^-

36 DYHAMQDB.

Théorème des aires. — Cela posé, quand le momcnl île la force par rapport à l'ave 0 est constamment nul, c'est-à-dire quand la projection de la force passe toujours par le point fixe 0, le moment de la quantité de mouvement reste invariable; on peut donc écrire dans ce cas ■

ï = Ci,

et énoncer le théorème IV sous la forme suivante :

ThIobbhs V. — Quand la projection sur un certain plan île la force qui sollicite un point mobile passe par un pôle fixe, l'aire décrite sur le même plan parle rayon vecteur issu de ce pôle crott proportionnellement au temps.

Réciproquement : Toutes les fois que les aires sont proportionnelles ait temps, la force est constamment dirigée rein l'origine fixe par des rayons vecteurs.

C'est ainsi que Newton a conclu de la deuxième loi de Kepler que la force qui sollicite les planètes passe constamment par le centre du Soleil.

Quand la force, au lieu de rencontrer simplement une droite lise, passe par un point fixe, le théorème des aires a lieu pour un pian de projection quelconque, l'axe des moments passant toujours par la projection du point lixc. Dans ce cas, la trajectoire est une courbe plane, le mobile ne sortant pas du plan déterminé par le point fixe et par la direction de la vt-, tesse initiale.

Utilité des théorèmes généraux de la Dynamique.

Nous avons dit que les théorèmes qui précèdent, quand ils ne donnent pas d'intégrales, fournissent des équations différentielles qu'on peut substituer à un nombre éfçal des équations ordinaires de la Dynamique. On fait un fréquent usage de ces théorèmes dans les applications, pour éliminer, sans transformations algébriques, certaines forces connues ou inconnues.

CIUPITRE [. — MOLÏKMÏNT n*UB FOL NT MATÉRIEL. 37

C'est ainsi que les forces dont le travail est nul disparaissent de l'équation des forces vives; celles qui rencontrent une droite lixe, de l'équation des moments pris par rapporta celle droite, etc. Ces méthodes, spéciales à chaque problème, servent calcinent quand le point mobile est assujetti à certaines londiiions, qui resu(>knenl le nombre du varialdes indépendantes : on est ainsi dispensé de recourir aux méthodes générales de Lagrangc, dont j'ai parlé.

Mouvement d'un point sur une sphère Jixe. — Le système de coordonnées naturellement indiqué ici est le système polaire. En clt'el, il suf'lira de considérer dans les calculs la coordonnée i- comme une constante, pour tenir compte de la condition imposée au mobile. Il ne restera plus ainsi dans les équations que deux variables : la longitude <l?, et la colalitnde 6; ces deux variables sont tout à fait indépendantes, et nous allons chercher, pour déterminer ces inconnues, deux équations où n'entre pas la réaction de la surface fixe.

Les formules qui servent à passer du système rectiligne au système actuel sont les suivantes :

Différer lions ces équations en considérant r comme une con s ta 11 le, cl faisons la somme des carrés de dx, dy, dz, ou trouve

Cela posé, la réaction de la sphère élant normale à la trajectoire du point mobile, le principe des forces vives fournit une première équation indépendante de cette réaction :

x — r-inO cosif 1 , X ~- rsinfl sin^,

d,'où, en divisant par

<•-[(*)■--• mi

^^dx + \dy-¥Zdz.

De même, la réaction inconnue, passant nécessairement au

centre de la sphère, a un moment nul par rapport à un axe h ](m ■ I f i >n i [ u conduit j î ; i r •'<■ point. Un nu ru donr une deuxième équation qui ne eontieiidrii p:is celle réaction, en appliquant le principe des aires sur un plan quelconque, par exemple sur le plan xOj; perpendiculaire à l'axe do noire système polaire. Celle équation esl, en se reportant à l'expression trouvée plus haut pour le moment de la quantité de mouvement,

(2) ctaHsin'fl J„ (Y .r-Xj-)rf(.

Mouvement du pendule simple, — Dans le problème du pendule simple, les forces agissant sur le point mobile se réduisent à la pesanteur seule ei l'on a, en supposant que l'axe des z ait été pris vertical ol dirigé vers le zénith,

X = o, Y = o, Z -mg.

Les équations | ni' cède nies s'intégrent une première fois, el donnent, en désignant par fia longueur du pendule, égale au rayon r de la sphère,

sin 1 0,d/„-4-^(cos£),— cosO),

sta'e.d/,.

Il suffit d'éliminer ^ entre ces deux équations pour déterminer 0 en fonction de ï par une quadrature. Il vieni

La quantité soumise au radical esl un polynôme du troisième degré en cos 0 dont les trois racines sont toujours réelles. En effet, le polynôme est positif pour G — B„ il esl négatif pour cosO = ± i ; enfin il se retrouve positif pour cos G — oc. On conclut de là l'existence de deux racines comprises entre — i et -+■ i, racines que je représenterai par cos S, el cos 0, ; quant à

CHAP1TKE 1. — MOUVEMENT o'UK POIHT M1TÉR1EL. 3tj

la troisième racine A, clic est positive Cl plus grande que t, elle ne saurait représenter un cosinus. On peut donc écrire l'équation (5)

(6) sine^^iy/^lA-coaflKcosfl-coseiJtcosei-cose).

Il suil Je là que l'angle 0 reste compris entre les deux angles 0, ci 0,; l'extrémité du pendule ne sort pas île la zone horizontale limitée par les deux petits cercles qui répondent aux deux limites de l'angle 0. La vitesse angulaire du pendule en projection horizontale est variable, conformément à la relation

elle est comprise entre 'deux limites, comme l'angle 0, dont elle suit les variations.

Quant à la relation entre l'angle 0 elle temps /, elle dépend des fonctions elliptiques de première espèce.

lin cas remarquable est celui dans lequel deux des racines de notre polynôme sont égides; c'est ce qui peut arriver de deux manières :

i" 0, peut devenir égal à 0„ et, dans ce cas, la valeur commune de ces deux quantités ne peul être que ô,; on a alors

(t le polynôme doit admettre i.ti l'ut leur le carré de

[cos5 — cos5,]; ce qui exige qu'on ail à l'origine

ff.^o ei ^-J/.'cose,.

Alors le pendule décrit un cercle horizontal avec une vitosse angulaire constante et égale à la vitesse angulaire initiale

a" La plus grande des trois racines et la racine eosO, peuvent toutes deux devenir égales à i'unité; ce qui exige les deux conditions

4o DYNAMIQUE.

On obtient ainsi

Pendule ordinaire. — Il résulte de l'équation (?) que, si la vitesse horizontale t| est nulle à l'instant initi.il, clic reste

nulle penilant tout le mouvement, lequel s'effectue alors dans un plan vertical. C'est le cas des expériences ordinaires sur le pendule. I.cs lois qui répondent à ce cas particulier sont bien connues, ainsi que la formule qui donne la durée des petites oscillations, formule que nous retrouverons pour exprimer rigoureusement ou approximativement les lois d'un grand nombre de phénomènes de Mécanique physique.

Des forces dites instantanées.

Nous avons, pour simplifier le langage, désigné sous le nom d'impulsion d'une force F, agissant pendant un temps /, l'intégrale définie t

laquelle est réduite à Fi si la force est constante ou supposée telle. En divisant l'intégrale qui donne l'impulsion par le temps i, on a V effort moyen, correspondant à l'espace de temps considéré.

L'impulsion d'une force est une quantité composée de la force et du temps de son action, comme le travail est une quantité composée de la grandeur de la force et du déplacement du point auquel elle est appliquée.

Cette impulsion est mesurée par l'accroisse toc ut de la quantité de mouvement du mohile pendant le temps ctinsidén'', ou par la quantité de mouvement linin coininuniquée à un corps en repos par une force agissant sur ce corps pendant un certain temps.

Si l'on mesure la masse et la vitesse d'un projectile ii la sortie d'un canon, on a, par le produit mv, la valeur de l'impulsion de la furce produite par la déllagraiton de la poudre. Quant à la force elle-même, on ne peut pas la mesurer ainsi

On obtiendra sa valeur moyenne, si l'on connaît seulement la durée de cette action.

Il est bien essentiel seulement de remarquer qu'aucune force ne peut imprimer une vitesse finie à une masse, quelque liiiiili- qu'elle soit, sans y meure un certain temps et s;ins Taire parcourir un certain espace à son point d'application sous son action continue. Il n'y a donc pas, a proprement parler, de forer instantanée. Néanmoins, si l'clfel est produit dans un temps si court que rien n'ait pu changer sensiblement dans la position du point, on pourra, dans la plupart des cas, faire abstraction de ce temps et supposer à l'action la durée que l'on voudra, pourvu que celle durée soit très-petite et que l'intégrale définie

ail la valeur qu'on peut évaluer en mesurant l'accroissement de la quantité de mouvement du corps qqj reçoit l'action de la force F.

Au lieu de l'expression malheureuse de « force instantanée», nous emploierons le mol de percussion pour désigner par exemple un coup de marteau, un coup de queue au jeu de billard, etc. La direction de la percussion sera celle de la force F, qui est censée ne pas changer sensiblement pendant la courte durée de son action; et ce qu'on peut appeler Vintritxitt: de lu percussion, ce qui en fait la mesure, c'est l'impulsion totale

dans toutes les équations qui ex priment <ins relations entre des forces équivah'iuos, équations qui sont linéaires par rapport aux forces, il n'y a qu'il multiplier par dt et à intégrer pour avoir des relations entre des percussions, les facteurs qui multiplient les forces étant supposes constants pendant le temps qui sépare ies deux limites de l'intégrale. Toutefois il faut bien se garder de confondre une percussion

sortes do quantités puisque lu percussion se mesure par l'impulsion de la force inconnue qui produit les effets observés, c'est-à-dire par le produit de la force parle temps de son action. Quand nous emploierons le mot/orra, ce sera toujours pour désigner un nombre de kilogrammes, mesurable au moyen de la balance ordinaire ou de tout autre procédé équivalent.

Le mol de force est pris assez fréquemment dans un grand nombre d'acceptions d'autant plus vicieuses qu'elles sont plus vagues et qu'on peut, de prémisses mal définies, tirer d'une manière é^ileinoui légitime les conséquences les plus directe m eut opposées.

Départes écrivait à Mersennc : « J'ai parlé de la force qui sert pour lever un poids, laquelle a deux dimensions, non de celle qui sert en chaque point pour le soutenir, laquelle n'a qu'une ilimension('). a

Cela veut dire : Quand il s'agit de soutenir un poids, la force seule est en jeu, tandis que pour lui communiquer une vitesse finie il faut. avoir égard au produit (le la force par le temps de son action.

Un peu plus lard, ol jusqu'au milieu du siècle dernier, les géomètres ont élé très-longtemps partages sur la question de savoir quelle doit être la mesure île la force des corps en mouvement; c'est-à-dire de décider si cette force est propor-

exemple, si un corps double d'un autre, et qui a 3 fois autant do-vitesse, a 18 fois autant de force, ou 6 fois autant seulement.

n Or, dit d'Alemberl, quand on parle de la force des corps en mouvement, ou l'on n'attache point d'idée nette au mot qu'on prononce, ou l'on ne peut entendre par la en général que la propriété qu'ont les corps qui se meuvent de vaincre les obstacles (ju'ils rencontrent ou de leur résister. Ce n'est donc ni par l'espace -qu'un corps parcourt uniformément, ni par le temps qu'il emploie à parcourir cet espace, ni enfin par la rtHiiiili.'CLilioii ^Liiijii'.', uiiii|!Li.' ri nlisliaile de sa masse et île sa

H Édition do H. Cousin, t. VI, p. 3ig.

CHAPITRE I. — MOUVEMENT d'uX POINT MATÉRIEL. Ifi .|M. ni ni |Of I..'. I- . .]ip- I. (. I ■ [ r - 'l |jr h

résistance que lui font ces obstacles. Plus l'obstacle qu'un corps peut vaincre et auquel il peut résister est considérable, plus on peut dire que sa force est grande, pourvu que, sans vouloir représenter par re mol un prétendu èlre <|ui réside dans le corps, on ne s'en serve que eomnic une manière abrégée d'exprimer un fait.

a Ceci bien entendu, il est clair qu'on peut opposer au mouvemenl d'un corps trois sortes [l'iibstacles : ou des ubstaeles invincibles qui anéantissent lotil à Tait son mouvement, quel qu'il puisse être; ou des obstacles qui n'aient précisément que la résistance nécessaire pour anéantir le mouvement du corps et qui l'anéantissent dans un instanl : c'est le cas de l'équilibre; ou enfin des obstaelesqui anéantissent lemouvement peu à peu : c'est le cas du mouvement retardé. Comme les obstacles insurmontables anéantissent également toutes sortes de mouvement, ils ne peuvent servir à faire connaître la force; ce n'est donc que dans l'équilibre, ou dans le mouvement retardé, qu'on doit en chereber la mesure. Or tout le monde convient qu'il y o équilibre entre deux corps quand

les produits rie leurs masses pur leurs vitesses sont éçaux de part et d'autre. Donc, dans l'équilibre, le produit de la masse parla vitesse, ou, ce qui est la même ebose, la quantité de mouvement, peut représenter la force. Tout le monde convient aussi que, dans le mouvement retardé, le nombre des obstacles vaincus est comme le carré de la vitesse; eu sorte qu'un corps qui a fermé un ressort, par exemple, avec une certaine vitesse, pourra, avec une vitesse double, fermer, ou tout à la fois, ou successivement, non pas deux, mais quatre ressorts semblables au premier, neuf avec une vitesse triple, -il ainsi du reste. D'où les parlisans-dcs forces vives concluent

néral, comme le produit de la masse parle carre de la vitesse.

» Sott qu'un corps ait une simple tendance à se mouvoir avec une certaine vitesse, tendance arrêtée par quelque obstacle, soit qu'il se meuve réellement et uniformément avec celte vitesse; soit enfin qu'il commence à se mouvoir avec cette même vitesse, laquelle se consume et s'anéantisse peu

44 niBAMioBE.

ii peu par quelque cause que ce puisse être : dans tous ces cas, l'effet produit par le corps est différent, mais le corps considéré en lui-même n'a rien de plus dans un cas que dans un autre; seulement, l'action de la cause qui produit l'effet est différemment appliquée. II n'v a donc rien d'étonnant à ce que cet effet soit différent suivant les conditions dans lesquelles on place le corps et qu'il soit tantôt proportionnel à la simple vitesse, tantôt comme le carré de cette vitesse. »

Pour en revenir aux forces insiantanées, quand nous verrons une masse m se mettre en mouvement avec une vitesse v, sous l'action d'une force agissant pendant un temps inappréciable, mais néanmoins Uni, nous dirons que le produit mv mesure Y impulsion de celle force, la quantité nie' ou jniv' le travail développé parcelle force. Quant a h force elle-même, tout ce qu'on peut espérer déterminer, c'est sa valeur moyenne, quand on connaît le temps qu'a duré son action.

g V. — TBÏOBIÏ DES BOUTES BUTS RELATIFS.

, Quand on connaît la force qui sollicite un mobile, on sait poser les équations différentielles du mouvement absolu de ce mobile; cl, ce mouvement élant une fois déterminé, on trouvera, par une simple transformation de coordonnées, le mouvement du même point relativement à tout système mobile suivant une toi donnée.

Mais ou lient aussi déterminer directement le mouvement relatif, lequel n'est autre chose, comme on le sait, que le mouvement absolu d'un ceriain point lictïf dont les coordonnées, par rapport à un système d'axes immobiles, sont les mêmes que les coordonnées relatives du point dont on s'occupe. En effel, nous connaissons par la Cinématique la grandeur et la direction de l'accélération totale relative J,; or il esl bien éi idem que les choses se passent comme si le point fictif, supposé doué d'une masse m, élail sollicité par une force niJ, : c'est la force relative, on la force apparente, la force capable de produire toutes les eirconsuuiecs du mouvement relatif. On peut donc poser immédiatement les équations différentielles du mouvement relatif; quant à la détermimiliu» des arbitraires,

CHANTRE I. — MOUVEMENT l)'lTM POINT MATÉRIEL. 45

elle se fora ensuite sans difficulté, au moyen des coordonnées et des vitesses relatives initiales.

Cela posé, l'accélération J, est la résultante :

i" I)c l'accélération J, due à ta force réelle F;

2° D'une accélération /', égale ét opposée à l'accélération d'entraînement;

3° De l'accélération centrifuge composée j", perpendiculaire à la vitesse relative el à l'aie instantané de la rotation «l'entraînement, el dirigée vers la gauche île la vitesse relative.

Appelons force d'entraînement la force mj' qu'il faudrait appliquer à un point coïncidant avec notre point mobile et supposé doué d'une masse m pour lui communiquer le mouvement du point correspondant du système de comparaison : la deuxième composante F lie la force apparente est égale el opposée à cette force d'enirainomcm. C'est la force d'inertie du point donné, considéré comme lié au\ axes mobiles. Donc :

Tii£nuEUE. — On peut toujours traiter le mouvement relatif d'un point matériel comme un mouvement absolu, pourvu qu'après avoir altri'taé lia put ni une vitesse initiait: eonvnuhti' on adjoigne, iï la force qui le sollicite réellement, lu force d'inertie, du point du système des axes qui coïncide avec le point étudié, et lu force centrifuge composée.

Tel est le théorème de Coriolis.

Je rappelle que la force centrifuge romposéea pour expression

F" - awMi», siniu, v, {').

v, étant la vitesse relative et '«> la vitesse d'entraînement. Les composantes de cette force suivant les a\es mobiles sont, en désignant par p. q, r les projections de ci sur ces mêmes aies,

(*J Vmr la prcnuiirc Pjrlif ik «'I Ouvra»!!; Ciaériaûqar, p. :;0.

Cai particulier* du théorème de Corlolis.

i" La force centrifuge composée est nulle dans les trois cas suivants : quanti la vitesse relative est nulle, parce que l'on a f, = o, c'est le cas île l'équilibre relatif; quand la direction de l'arc instantané se confond avec celle de lu ritesse relative, paire qu'on a sinra, v, — o; enfin quand le mouvement des axes est une simple translation, parce qu'on a w — o.

Dans ces trois bypollièses, .il suffit de joindre, à la force réelle agissant sur le point donné, la force d'inertie de ce point, considéré comme lié aux axes mobiles.

3° Quand !e mouvement du système d'entraînement est une pure translation, et que, de plus, celle translation esl rucliligne cl uniforme, il n'y a plus aucune force à joindre à la force F. Les équations diilcrruiiidles du mouvement relatif sont identiques à celles du mouvement absolu, et les intégrales des deux problèmes ont la même forme.

Seulement, nous savons que tout n'est pas dit quand on a intégré les équations différentielles d'un problème de Méca-

inilial, déterminer les constantes que l'intégration laisse arbitraires. Or les grandeurs cl les directions des vilesses initiales ne sont pas les mêmes dans le mouvement relatif et dans le mouvement absolu, et celte circonstance, en changeant les constantes arbitraires introduites par les intégrations, fait seule que le mouvement relatif dilfère du mouvement absolu.

3" Si le mouvement d'entraînement se compose de deux rotations, la force centrifuge composée totale esl la résultante des deux forces analogues qui seraient introduites par les deux l'Olatmiis eu m posantes. En eil'et, posons

pr-.p,+p„

et remplaçons p, q, r, par ces valeurs dans les expressions des composantes de la force centrifuge composée : on obtient évi-